多阶段配置问题.doc

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1、多阶段配置问题设有数量为的某种资源，今要投资到两个项目与中去。若第一次以数量投资于，设其经济效益为；以数量投资于，设其经济效益为；并称此为活动的第一阶段，在第—阶段可得总经济效益为假定(这是合理的，因为不投资其经济效益即为0)。显然，对不同的(即不同的投资方案)第一阶段的经济效益一般也不同。又设以数量及分别投资于与两项生产后，可以回收一定的资源，并再投入生产。设其回收率分别为及.设第一阶段投资后，回收的总资源为，则有我们将再投资于与中去，称之为第二阶段。若第二阶段以资源投资于，设其经济效益为；以资源投资于，设其经济效益，则第二阶段的总效

2、益为因此，前两个阶段的总经济效益为又设第二阶段回收的总资源为，即有如此继续下去。假定第阶段回收的总资源为，并假定第阶段以资源投资于，经济效益为；而以资源，投资于，其经济效益为。则前个阶段的总经济效益为…其中(1)我们希望选择以使个阶段投资的总经济效益最大，即希望选择[]使之在条件(1)下达到…(2) 这是一个多阶段决策问题，满足(1)及(2)的策略[]即为最优策略。设初始资源为，经过个阶段投资，且各阶段投资中均以最优决策投资后所得到的总经济效益为。则个阶段决策问题可归纳为下面的递推关系：（3）当，都是凸函数时，我们可以证明上面的多阶段配

3、置问题的最优策略有如下的好结论。3.4.2多阶段配置问题在凸条件下的结论命题1若，为凸集上的凸函数，则也是上的凸函数。命题2若，为凸集上的凸函数，则也是上的凸函数。命题3若为上的凸函数，为凸集上的线性函数，则也为上的凸函数。命题4若为有界闭凸集，为上的凸函数，如果存在，则它必在的边界点上达到。以上四个命题，我们只证明命题4，其余留给读者自己证明。命题4的证明<反证法>假定在上的最大值不能在的边界点上达到，则对，有(1)由于存在，故必有的内点，使得，由于是的内点，过作一线段，使其与交于两点,，那么存在(为权)(1,2)，使得由于是凸函数，

4、故有(2)(1)式与(2)式矛盾。这个矛盾说明假定是不正确的。即本命题得证。由以上几个命题，我们就能证明下面的重要定理：定理设，为凸函数，且，则多阶段配置问题的最优决策必在每个阶段的相应边界点上达到。证明(利用数学归纳法)由于，为凸函数，则由命题3可知对于任意固定的都是的凸函数。由命题1可知，对任意固定的都是的凸函数。又为有界闭凸集，则由命题4可知：而由命题2可知，也是凸函数。设为的凸函数，则由命题3可知，对于固定的，必是的凸函数，再由命题2和命题4可知也是的凸函数，从而最优决策必可在各阶段的相应的边界点上达到。例有某种机器，可以在高低

5、两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，产品的年生产量与投入生产的机器台数的关系为：年(折损后)完好率为，在低负荷下进行生产时，产品的年生产量与投入生产的机器台数的关系为：年(折损后)完好率为。若开始时拥有完好机器台数为1000台，要求制定一个5年计划，在每年年初时，应决定如何重新分配完好机器在高、低两种不同的负荷下生产，使之在5年内产品的总产量达到最高。解为建立这个问题的动态规划模型，我们可以用年度表示阶段序数，于是可规定第年度初拥有的完好机器台数为状态变量，第年度中分配在高负荷下进行生产的机器台数为决策变量。因此，就是该年度

6、中分配在低负荷下进行生产的机器台数。于是，第年度初拥有的完好机器台数，也即状态变量为：又设为第年度的产量，则于是，第年度状态为时的最优值，即为由于不计第六年的产量，故取。因此我们得到该问题满足逆序递推关系的数学模型如下：由这个模型我们可以得到如下的结果：第一步：从最后一阶段开始算，即第五年度，（当时达到）即在第五年初，应把所有完好的机器全部投入高负荷下生产。第二步：看第四年度的情况，即(当时达到)即在第四年初，应把所有完好的机器全部投入高负荷下生产。第三步：看第三年度的情况，即(当时达到)即在第三年初，应把所有完好的机器全部投入高负荷下

7、生产。第四步：看第二年度的情况，即（当时达到）即在第二年初，应把所有完好的机器全部投入低负荷下生产。第五步：看第一年度的情况，即（当时达到）即在第一年初，应把所有完好的机器全部投入低负荷下生产。归纳上述结果可列成下表1（表1）阶段数年初高负荷的机器台数年初低负荷的机器台数当年的效益年末仍完好的机器台数101000500010000.9=9002090045009000.9=8103810064808100.7=5674567045365670.73975397031763970.7278由上表可以看出，我们可选用这样的5年计划，第一年把

8、1000台机器全部投入低负荷生产，取得效益为10005=5000，折损机器100台，仍完好的机器为900台；第二年再把这900台机器全部投入低负荷生产，又取得效益为9005=4500，再折损机器90台，仍完