高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和学案理北师大版

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1、第三节　等比数列及其前n项和[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第84页)[基础知识填充]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N＋，q为非零常数)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等

2、比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，则am·an＝ap·aq＝a；(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个

3、等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　)A．

4、－　　B．－2　　　　C．2　　　　D.D　[由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝，②由②÷①得q3＝，解得q＝.故选D.]3．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.1　[设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3，由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝1.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9

5、×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.](对应学生用书第85页)等比数列的基本运算　(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)A．1　　　　　B．－C．1或－D．－1或(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，

6、a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．(1)C　(2)2n－1　[(1)根据已知条件得②÷①得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.][规律方法]　解决等比数列有关问题的两种常用思想(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的

7、前n项和Sn＝＝.[跟踪训练]　(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏(2)(2018·广州综合测试(二))在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，a＋4a＝4a，则数列{an}的通项公式an＝________.【导学号：79140176】(3)(2017·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋8a4＝0，则＝(　　)A．－B