燕尾定理（一）

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1、年级五年级学科奥数版本通用版课程标题燕尾定理（一）编稿老师宋玲玲一校黄楠二校林卉审核张舒本节课要求同学们能根据燕尾定理找到互为燕尾的三角形，并能确定对应三角形的面积比。体会通过添加辅助线构造“燕尾”，借此解决复杂的图形问题。燕尾定理——因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理。如图△ABC，D、E、F分别为BC、CA、AB上的点，满足AD、BE、CF交于同一点O。：＝：＝BD：CD：＝：＝AF：BF：＝：＝EC：AE上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存

2、在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积与对应底边之间提供互相联系的途径。需要构造燕尾定理的几何题一般有两个特征：（1）边上有等分点（比例）；（2）三角形内部有由顶点引发的线段的交点。例1在下面的三角形中，找出互为燕尾的三角形：第6页版权所有不得复制分析与解：根据燕尾定理，互为燕尾的三角形分别是类似燕尾部分的两个三角形。它们是△BGE和△CGE；△CGF和△AGF；△AGD和△BGD。例2图中AD＝3，BD＝2，AF＝4，CF＝3，BE＝2，CE＝4，直接利用燕尾定理：（1）列出面积比为3：2的三角形（2）列出面积比为4：3

3、的三角形（3）列出面积比为2：1的三角形分析与解：（1）已知AD：BD＝3：2，根据燕尾定理得：＝：＝AD：BD＝3：2；（2）已知AF：CF＝4：3，根据燕尾定理得：＝：＝AF：CF＝4：3；（3）已知CE：BE＝4：2＝2：1，根据燕尾定理得：＝：＝CE：BE＝2：1。例3如图，△ABC中，AD＝2DC，BE＝2EC，则△ABO的面积占△ABC面积的几分之几？分析与解：求△ABO的面积占△ABC面积的几分之几，需找到△ABO和△ABC面积之间的联系。连结OC。第6页版权所有不得复制已知AD＝2DC，BE＝2EC，所以：＝1：2

4、；：＝1：2；所以：：＝1：1：2。＝＋＋，所以△ABO的面积占△ABC面积的二分之一。例4如图，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E是BC边上的中点。连接CD和AE，将三角形ABC分成四个部分。如果三角形ABC的面积为1，那么四边形BDOE的面积为多少？分析与解：如图，连结OB，由燕尾定理可知，：＝：＝CE：BE＝1：1；同理：＝：＝AD：BD＝1：1，所以＝＝＝。又因为＝＝＝＝＝，所以四边形BDOE的面积是和的和，也就是。第6页版权所有不得复制例5三角形ABC中，∠C是直角，已知AC＝2，CD＝2，CB＝3，AM＝BM

5、，那么△AMN（阴影部分）的面积为多少？分析与解：连结NB，因为CD＝2，CB＝3，所以CD：DB＝2：1，因为AM＝BM，所以AM：BM＝1：1。由燕尾定理可知，：＝：＝AM：BM＝1：1；：＝：＝CD：DB＝2：1，所以：＝4：1。＝，所以阴影部分的面积＝×＝。（答题时间：30分钟）1.如图，，，，求的值是多少？若△ABC、△ACG、△BCG的面积不知道呢？2.如图，，，，求等于多少？第6页版权所有不得复制3.图中的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么阴影三角形的面积是多少？4.由面积分别为2、3、5、

6、7的四个三角形拼成一个大三角形，如图所示，即已知，，，，那么的值是多少？5.如图，三角形ABC中，，，求。第6页版权所有不得复制1.解：。若面积未知则可直接得到。2.解：由燕尾定理可知，所以占的，即。3.解：由燕尾定理可得阴影部分的面积：4＝2：（1＋3），所以阴影部分的面积是2。4.解：由燕尾定理可以得到，得到＝。5.解：根据燕尾定理得，，所以。第6页版权所有不得复制