点有多大——蔡聪明.doc

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1、点有多大蔡聪明§离散的或连续的？§点与线段的三个基本问题§毕氏学派的万有皆整数与调和§欧氏的几何学研究纲领§解析几何§微积分的诞生§微积分的基础§集合论§测度论§数学是无穷之学这是一个平凡的问题，但是极具深度且源远流长，它从古希腊开始就涉及了「有穷」与「无穷」的论争。本文我们尝试由「点有多大？」的观点切入，循着「无穷」的脚步，走一趟数学之旅，作一个简要的历史回顾。空间或几何图形，都是由「点」所组成的。因此，欲透过点的性质来掌握图形的性质，乃是顺理成章的一件事。我们很自然要问：点有没有长度？在约两千五百年的漫长岁月中，数学家提出了各种答案，从毕氏学派的「点有一定

2、的大小，长度不为0」，到欧几里得的「点只占有位置，而没有长度」，再到牛顿与莱布尼慈的「无穷小」解释，这些答案跟欧氏几何、解析几何、微积分、集合论以及测度论的发展，具有密切的关联。离散的或连续的？大自然的结构与组成要素，其生成、变化与运动之道，自古以来就是哲学家与科学家热烈讨论的主题。由此产生了下面三个万古常新的问题：(i)物质的结构问题(thestructureofmatter);(ii)物体的变化与运动问题(theproblemofchangeandmotion);(iii)科学知识的结构与成长问题(theproblemofstructureandgrowt

3、hofscientificknowledge)。对于物质的结构问题，让我们作个想象的实验(thoughtexperiment)：如果将一块泥土不断地分割下去，最后会得到什么呢？这可以分成以下的离散(discrete)与连续(continuous)两派来解释。离散派：这一派又叫做原子论派(atomism)，主张：分割物质，在很大的「有穷步骤」之内就会抵达「不可分割」的境地，叫做「原子」(atom)；万物都是原子组成的。原子不生不灭，其不同的排列组合，导致了大自然的生成与变化之道。离散派或有穷派最主要的代表人物，是毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前585～

4、500）、留基波斯（Leucippus，约公元前460～390）与德谟克列特斯（Democritus，约公元前460～370）等人。连续派：这一派主张：物质是连续的，可以作「无穷步骤」的分割，没完没了。但是，分割到最后会剩下什么，却陷入困局。如果回答说是「空无」(nothing)，那么物质是由空无组成的，这种「无中生有」(somethingoutofnothing)是不可思议之事。如果回答说是「无穷小」(infinitesimal)，那么什么是无穷小？这更令人困惑。我们举几个连续派的例子。在春秋战国末期，公孙龙（约公元前325～250）说：一尺之棰，日取其半，

5、万世不竭。古希腊哲学家安那萨哥拉斯（Anaxagoras，公元前500～428）说：在小当中没有最小，因为小中恒有更小。(Inthesmallthereisnosmallest,thereisalwaysasmaller.)这跟老子所说的「至大无外，至小无内」有异曲同工之妙。再如，英国讽刺小说家斯威夫特（Swift，1667～1745，即《Gulliver游记》的作者）也说：在一只跳蚤身上有一只更小的跳蚤在吸吮，在更小的跳蚤身上又有一只更小更小的跳蚤在吸吮；如此继续下去，永世不竭。上述例子，都是连续派或无穷派的最佳写照。点与线段的三个基本问题「点」(point

6、)是几何图形的最基本要素，相当于几何学的「原子」。当我们剖析几何图形的组成时，得到体、面、线，最后是点。反过来说，动点成线，动线成面，动面成体。前者是「分析」(Analysis)，后者是「综合」(Synthesis)。既然线段是由点组成的，于是自然产生下面三个基本问题：问题1：点有多大？问题2：如何由点的长度，累积成线段的长度？问题3：线段含有多少点？这三个问题都很有深度，追究起来又会遇到两个相关的问题：线段是离散的或连续的？线段是有穷可分的(finitelydivisible)或无穷可分的(infinitelydivisible)？从而，又分成离散派与连续派

7、。离散派主张：点虽然很小很小，但有一定的长度，像小珠子一样，线段是由这些小珠点连起来的。连续派则主张：点的长度为0，线段是连续的、无穷可分的。这就涉及深奥的无穷与连续统之谜(theenigmaofinfinityandcontinuum)，经常伴随着诡论之出现，例如著名的季诺诡论(Zeno'sparadoxes)。长久以来，这两派思想的论争，对于促进数学、物理学、哲学的进展，一直扮演着主导的角色。连续派富于想象，离散派注重实际。数学史家倍尔(E.T.Bell,1883～1960)说得好：整个数学史，可以看作是离散与连续这两个概念的论争史。这个论争可能只是早期希

8、腊哲学上著名的「一与多」（亦即「变」与