微分中值定理的证明题 - Welcome to nginx!.doc

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1、微分中值定理的证明题1.若在上连续,在上可导,,证明:,使得:。证:构造函数,则在上连续,在内可导,且,由罗尔中值定理知:,使即:,而,故。2.设,证明:,使得。证:将上等式变形得:作辅助函数,则在上连续,在内可导,由拉格朗日定理得:,即,即:。3.设在内有二阶导数,且,有证明:在内至少存在一点,使得:。证:显然在上连续,在内可导,又,故由罗尔定理知:,使得又,故,于是在上满足罗尔定理条件,故存在,使得:,而,即证4.设函数在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,,.证明:(1)在(0,1)内存在,使得.(2)在(0,1)内存在两

2、个不同的点,【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论.【证明】(I)令,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在存在使得,即.(II)在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点,使得,于是1.设在[0,2a]上连续,,证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续,条件中没有涉及导数或微分,用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到【证明】令,.在[0,a]上

3、连续,且    当时,取,即有;当时,,由根的存在性定理知存在使得,,即.2.若在上可导,且当时有,且,证明:在内有且仅有一个点使得证明:存在性  构造辅助函数则在上连续,且有,,由零点定理可知:在内至少存在一点,使得,即:唯一性:(反证法)假设有两个点,且,使得在上连续且可导,且在上满足Rolle定理条件必存在一点,使得:即:,这与已知中矛盾假设不成立,即:在内仅有一个根,综上所述:在内有且仅有一个点,使得1.设在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且==0,=1。试证至少存在一个(0,1),使=1。分析:=1=1=x=0令(

4、)=证明:令F()=()在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,(1)=()=由介值定理可知,一个(,1),使()=0又(0)=0=0对()在[0,1]上用Rolle定理,一个(0,)(0,1)使=0即=11.设在上连续,在内可导,且试证存在和.满足,使。证由拉格朗日中值定理知,2.设在上连续,内可导证明: 使得                                                  (1)  证:  (用乘于(1)式两端,知)(1)式等价于                                

5、        (2)                             为证此式,只要取取和在上分别应用Cauchy中值定理,则知               其中.3.已知函数在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,,证明存在,使解:利用柯西中值定理而则(后面略)1.设在时连续,,当时,,则在内有唯一的实根解:因为,则在上单调增加(中值定理)而故在内有唯一的实根2.试问如下推论过程是否正确。对函数在上应用拉格朗日中值定理得:即:因,故当时,,由得:,即解:我们已经知道,不存在,故以上推理过程错误。首先应注意:上面应用拉格

6、朗日中值的是个中值点,是由和区间的端点而定的,具体地说,与有关系,是依赖于的,当时,不一定连续地趋于零,它可以跳跃地取某些值趋于零,从而使成立,而中要求是连续地趋于零。故由推不出1.证明:成立。证明:作辅助函数,则在上连续,在内可导,由拉格朗日定理知:即:,因在内单调递减,故在内单调递增,故即:即:。注:利用拉格朗日中值定理证明不等式,首先由不等式出发,选择合适的函数及相应的区间,然后验证条件,利用定理得,再根据在内符号或单调证明不等式。2.证明:当时,。证明:作辅助函数则故在上单调递减,又因,在上连续,故=0,即:,即:。注:利

7、用单调性证明不等式是常用方法之一,欲证当时,常用辅助函数,则将问题转化证,然后在上讨论的单调性,进而完成证明。1.证明:若二阶可导,且,,则在内单调递增。证明:因,要证单调递增,只需证,即证。设,则,因为,,故是单调递增函数,而,因此,即:,即:,即当时单调递增。lim(x→0)100x^2lnx=lim(x→0)100lnx/(1/x^2)这是∞/∞型上下求导得=lim(x→0)(100/x)÷(-2/x^3)=lim(x→0)-50x^2=0所以取自然对数lim(x→0)ln{e^-[1/(x^2)]/x^100}=lim(x

8、→0)ln{e^-[1/(x^2)]}-lnx^100=lim(x→0)-1/(x^2)-100lnx再通分=lim(x→0)(-1-100x^2lnx)/(x^2)这是个-1/∞型极限=-∞因此lim(x→0)e^-[1/(x^2)]/x^100

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