反证法在分析学中的应用

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1、<临沂大学理学院2011届本科毕业论文（设计）临沂大学理学院毕业论文（设计）反证法在分析学中的应用　　　　　　　　　　　　　专业　　　　数学与应用数学　　　　　　　系　（院）　　　理学院　　　　　15<临沂大学理学院2011届本科毕业论文（设计）摘要“反证法”是数学证明中的一种重要方法，运用起来简明间接，是一种重要的数学思想方法.本文主要介绍了“反证法”的逻辑依据和步骤.列举了一些在分析学中比较适合用反证法解决的问题.同时指出了如何正确的运用反证法.关键字：数学分析反证法应用15<临沂大学理学院2011

2、届本科毕业论文（设计）ABSTRACT"Reductioadabsurdum"isanimportantmethodofmathematicalproof,usecondensedindirect,isanimportantmathematicalthinking.Thispaperdescribestherationaleofthe"reductioadabsurdum"andsteps.Examplesreductioadabsurdummoresuitableforuseintheanalysis

3、oflearningtosolveproblems.AlsopointedouthowtoproperlyusereductioadabsurdumKeywords:mathematicalanalysis,reductioadabsurdum,theapplication15<临沂大学理学院2011届本科毕业论文（设计）目录1，引言12．，反证法的原理和步骤13，反证法的应用13.1应用类型一23.2应用类型二33.3应用类型三53.4应用类型四83.5应用类型五94.结束语10参考文献12致谢131

4、5<临沂大学理学院2011届本科毕业论文（设计）1引言反证法是分析学中经常要用到的解题方法之一.无论是在定理证明中还是在解题中，经常都要用到反证法.并且相对对一些比较抽象或者是用直接证法比较困难的命题而言，反证法具有一定的优势，效果非常明显.此外，反证法作为一种间接证明的方法在分析学中应用非常广泛.首先我们来了解一下反证法.2，反证法的原理和步骤反证法就是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设二否定结论，通过推理导出矛盾，进而证明命题.反证法证明命题的具体步骤：（1）反设，即

5、作出与求证结论相反的假设；（2）由反设与题设条件出发，推出与公理，定义，已知定理或题设相矛盾的结果.（3）存真，即由所得矛盾证明了反设不成立，从而肯定了原结论正确.3，反证法的应用反证法运用巧妙，适用范围广泛。一般说来，能用直接证明的命题，其证明过程都可以改写成反证法的形式.但通常我们只对那些用直接证法难以下手的问题转而使用反证法.而如何判断命题“若A则B“有没有直接证明的证明依据，则是数学分析中是否建立了关于B或不B的有关理论而定.若建立了关于B的有关理论，则宜用直接证法证明，若没有建立关于B的有关理

6、论，而建立了关于不B的有关理论，则用反证法.经过观察，以下几种命题类型用反证法证明比较合适.3.1当命题的结论中带有“函数F(x)某个特定的常数”时，适合用反证法证明.例1设F为闭区间上的连续函数，且F(a)F(b)＜0,则,使得F（）=0.证法1不妨设F（a）＜0,F(b)＞0.假设F(x).现将两等分，若F()＞0,则取，=a;若F()＜0，则取，=b.此时，F（）＜0,F（）＞0.再将两等分，若F()＞0，则取=，=；若F（）＜15<临沂大学理学院2011届本科毕业论文（设计）0,则取，=，此时F

7、（）＜0,F（）＞0,如此下去，得一递降闭区间套：……，=0（n+），F（）＜0,F（）＞0.根据实数连续性命题（三）（闭区间套原理）知，，显然，==.由F连续知，0F（）=F（）=F（）0.所以有F（）=0，又F（a）＜0,F(b)＞0，故a,,b,,这与假设相矛盾.因此，必有，使得F（）=0.证法2假设F(x),由F连续知，＞0，s.t.F在上严格同号，则开区间族Q=为上的一个开区间覆盖，根据实数连续性命题（四）（的紧致性）知存在有根的子覆盖Q=。不失一般性，设，如果，那么F与F（a）严格同号，从而

8、F(a)F(b)＞0，这与题设F(a)F(b)＜0相矛盾，因此，，从而，不妨设.由于，所以F在与上严格同号，依次得到一串开区间，F在这些开区间上依次是同号的，并且，所以F（a）与F（b）严格同号，这与F（a）与F（b）严格异号相矛盾.15<临沂大学理学院2011届本科毕业论文（设计）3.2当命题的结论中带有“极限零或某个特定的常数”时，在已知极限存在或者易证出极限存在的前提下，宜于用反证法证明；反之，则比较适合用直接法来证明.例2设收敛，F