矩阵对角化问题目数学论

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1、矩阵对角化问题高等代数中，在讲到线性空间和线性变换时，一个主要内容是讨论矩阵对角化,即在什么条件下矩阵与对角矩阵相似.而矩阵对角化的原始问题是：设是有限维复线性空间,是上的线性变换，能否在中找到一个基,使得在这个基下的矩阵比较简单.作为纯粹的几何问题就是能否分解成一些不变子空间的直和.讨论这个几何问题的证明对于了解线性空间有很大好处.本文将对分解成所谓根子空间的直和给出一种较为初等的证明，并由根子空间分解定理推出线性变换(或阶方阵)可对角化的充要条件.把这些充要条件与其他线性变换（或阶方阵）可对角化的充要条件进行汇总比较，从而得到线性变换的矩阵对角化的方法的优劣，便于学习和研究根据具体

2、情况选用.1．预备知识1.1有关定义定义1.1.1线性空间一个变换称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数K都有(+)=（）+（）(）=()定义1.1.2设是数域上的线性空间的线性变换，W是的子空间，如果W中的向量在下像仍在W中，换句话说，对于W中任一向量，有,我们就称是的不变子空间，简称-空间.定义1.1.3设,线性空间的子空间，如果和+中每个向=+,是唯一的,这个和就称为直和.定义1.1.4如果数域上的阶矩阵A相似于对角阵，则可对角化定义1.1.5设是数域上的阶矩阵，如果数域上的多项式使得=0,则称以为根.在以为根的多项式中次数最低且首相系数为1的多项式称为的最小多项式.定

3、义1.1.6设是数域上的维线性空间的线性变换，如果存在非零向量,数,N,使得，那么称为属于的根向量.线性变换的属于特征根的根向量的全体，再添上零向量所组成的的子集是的一个子空间，称的这个子空间为的属于特征值的根子空间.Sylvester不等式设均为阶矩阵，秩（）+秩()+秩（）1.2线性空间根子空分解定理引理设是n维复线性空间V的线性变换,是的所有不同的特征值,且其中是V的全部根子空间,则在上为幂零线性变换,而在上为可逆线性变换.证明不失一般性,只证明在上为幂零线性变换,而在上为可逆线性变换.在中取一个基,则有正整数,使,i=1，2，…,t,取p=max,有,i=1,2…t,于是对任意

4、，令,则=()=,即在上,=(为零变换),所以在上为幂零线性变换.令W=,若不可逆,则一定有一个特征根是0,因而在W上有属于特征根0的特征向量(∈W),即有==0,亦即(0).又因∈W=,所以有=,其中(i=2,…,s)于是有正整数,使,i=2,…,s,令,则τ()==0,i=2,…,s,从而τ()=τ()+…+τ(ξs)=0,另一方面,因为，又()==这就导致了矛盾.所以在上为可逆线性变换.定理1.2.1(根子空间分解定理)设是维复线性空间V的线性变换,是的所有不同的特征值,是属于的根子空间,i=1,2,…,s,则.证明设的特征多项式为令i=1,2,…,s,则互素,于是有多项式,使,

5、将代入上式,得,(为单位变换),任给ξ∈V,有ξ=(ξ)=ξ=,记,i=1,2,…,s,于是.下面证明,i=1,2,…,因为,由哈密尔顿-凯莱定理(为零变换),于是有=（为零变换）即,i=1,2,…,s,所以,又显然,故.再证明上面的和是直和,设,i=1,2,…,s由引理知在上为幂零变换，所以存在正整数,使得在上(为零变换),又由引理，在上为可逆变换,所以在上也是可逆变换,于是0==（）=+（）=（）从而=0,于是,i=1,2,…s,由零向量的表法唯一知根子空间分解定理全部证完.运用根子空间分解定理可以推出一些矩阵对角化的充要条件.对角矩阵可以认你为是矩阵中最简单的一种，一些复杂的矩阵

6、可以通过适当的方法化为对角阵.通过相应对角阵的研究学习,可以推知这些复杂矩阵的性质,促进对复杂矩阵的了解,简化很多复杂工作,给学习和研究带来很大方便.下面就矩阵对角化的充要条件作一详细论述.2.矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法2.1特征向量法定理2.1.1设是维线性空间V的一个线性变换,的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是,有个线性无关的特征向量.证明设在基下具有对角阵.即i=1,2…n因此,就是的个线性无关的特征向量.反过来,如果有个线性无关的特征向量,那么就取为基.显然,在这组基下的矩阵是对角阵.证毕.例1.设线性变换在基下的矩阵是(1),(2),问A是否可以对角化?

7、解(1)因为特征多项式为=所以A的特征值是-1(二重)和5把特征值-1代入齐次方程组得(1)解得基础解系是和因此属于-1的两个线性无关的特征向量是把特征值5代入(1)得基础解系,所以属于5的全部特征向量为则在基下的矩阵为B=(2)==，所特征值为1(二重)和-2.对应特征值1的特征向量为对应特征值-2的特征向量为由此知有两个线性无关的特征向量，由定理1知不能对角化.运用此定理判定一个线性变换的矩阵是否可以对角化的方法简单易懂,但是过程比较繁琐.