灰色预测模型gm

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1、-灰色预测模型GM(1,1)§1预备知识平面上有数据序列，大致分布在一条直线上。yx设回归直线为：，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和最小。J是关于a,b的二元函数。由则得使J取极小的必要条件为：（*）(1)以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据、去表示a与b，使得误差平方和J取最小值，即从近似方程中形式上解出a与b。把上式写成矩阵方程。令，.---令，则左乘得注意到BTB是二阶方阵，且其行列式不为零，故其逆阵(BTB)-1存在，所以上式左乘得（2）可以具体验算按最小二乘法求得的结果（1）与（2）式完全相同，下面把两种算法统一

2、一下：由最小二乘得结果：方程（*）方程组改写为：令：，，（*）化为所以以后，只要数据列大致成直线，既有近似表达式当令：，，则有（2）.---（2）式就是最小二乘结果，即按最小二乘法求出的回归直线的回归系数a与b。推广：多元线性回归设有m个变量，每个自变量有n个值，因变量y有n个值（1）如n个人，每人有m个指标。女生：人：（体重）公斤（胸围）厘米（呼吸差）厘米（肺活量）毫升1=35=69=0.716002=40=74=2.526003=40=64=2.021004=42=74=326505=37=72=10124006=45=68=10522007=43=78=40327508=37=66=21

3、6009=44=70=302275010=42=65=32500方程组（1）是n个方程m个数据用X表示增广矩阵：n行，m+1列，，其中为阶矩阵。由此可解出：注意：方程组中不知，意思是：如果线性关系成立.---当为多少时，到的距离之和为最小。或说，当所有到()距离之和为最小时的就是我们要求的最佳系数。§2GM模型前言为什么要讲GM(1,1)模型？80年代初，华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论，先后发表过灰色控制、灰色预测、灰色决策、灰色系统理论等多部专著，较详细在阐述了灰色系统理论的产生、理论、方法与应用。在80年代中后期到90年代初，举行了十数次国际、国内有关灰色系统理论的研讨会，在全国

4、形成一股灰色系统理论研究与应用热潮。邓聚龙先生因灰色系统理论方面的供献，获得国家科技进步一等奖。~什么叫灰？用邓先生自己的话来讲：“完全已知的系统称作白系统；完全未知的系统称作黑系统或黑箱；部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。”在此，已知或未知到什么程度没有具体说明。所以，“灰”的内涵不是很清楚。举个例子讲，已知某量的真值x在闭区间[a,b]上，不可能落在[a,b]之外，但具体落到区间[a,b]的什么位置则是完全不知道的。那么，这个量称作灰量，可具体表示为[a,b]，称其为区间灰数。显然，区间灰数是客观实际中存在的，除了知道真值x在[a,b]上，而不在[a,b]之外，不再有任何已知信息，这就

5、是灰量的最基本原型。由于灰色系统理论从一开始就没有建立在严格的集合论基础之上，使之缺乏必要的数学支撑，这大大限制了灰色系统理论和应用的发展。虽然灰色系统理论在控制、预测、决策等领域有着广泛的应用；但就其精华而言，还在于GM(1,1)模型。即便是现在，在特定情况下，GM(1,1)还有用，还在被应用，并且预测效果很好。其使用限制条件是：原始数据单调，预测背景呈现稳定发展趋势；其优势是：适用于原始观测数据较少的预测问题，由于数据量很小，无法应用概率统计方法寻找统计规律，而GM(1,1)模型恰恰弥补了这个空白，由于GM(1,1)算法简单易行，预测精度相对较高，所以在一些特定问题中，GM(1,1)仍然是

6、决策者乐于选择的预测模型。上面讲到的背景稳定的发展趋势是指下述情况：如化工设备的腐蚀量，随着使用时间的推移腐蚀不断增加，呈现出稳定的发展趋势，并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量)，所以实际观测数据较少。这类问题很适合GM(1,1)模型预测。§3GM(1,1)预备知识3.1回忆一阶线性常系数微分方程(1)其解为：(2)其中a，u为给定的常数。.---一阶线性常系数微分方程(1)的解(2)是指数型曲线，如下图所示x(0)0txa<0a>0x(0)–u/a0txa<0a>010txa<0a>0图象图象图象3.2在预备知识中，讲述了最小二乘法：若数据点近似落在一条直线上，设这条直线为y＝ax

7、+b，a,b为参数。理想的直线要求：每个数据点，到该直线的距离平方和最小――即最小二乘。用最小二乘法求出参数a与b，这相当于形式上的解线性方程组：(3)当令，，则（3）化为，（4）由此求出，可得回归直线（5）上述形式上的求解结果，本质上是用最小二乘法求解回归参数的过程，故有下面结论。结论：一组数据点（n个），且近似线性关系则下述表达式可求出回归系数a与b。.---上述形式上的计算，本质是使点到直线