分式化简技巧及分式应用题解法

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1、分式运算的若干技巧进行分式运算应以分式的性质为基础，根据已知的条件特征和结构特征，克服思维定势，通过适当的变形、转化、沟通等解题手段，找到解题的捷径。本文介绍几种常见的方法与技巧,供同学们参考。练练并总结出化简分式的一般步骤2x~2+I计算：xa-3x+2宀"+3一•通分例I•化简••匕一宀2二约分例2.化简:432432a-a+da+g+g/+1宀1三.运用分配律例3・化简：（丄+——1）（1—a?）Cl—16Z+1四•倒数法例4.已知G+丄=3,求一的ad+/+13.若a2+b2=3aby求分式（1+—笙牙）（1+二）的值a一a-b值。五.降次法例5.已知/一

2、3。+1=0,求的值。卅+1解：由已知，得/+1=3。・原式——_@2+1)(°斗—a2+1)_3/(/+1尸_3/]六.裂项法例6.计算：——+——+—1a+aa+3a+2ci+5ci+6a~+7a+12s—I、、z112x4x38x7七.递进通分法例7.计算：;:tHa-xa+兀axa+兀x-ab2a2ha—+-v+2-+-八.换元法例&化简：?“3"+—b3a3hcib2a2小a3h3-3(—-)P+活一2abab九.V肖元V去仮ij9.若4a—3b—6c=0,a+2b—7c=0,求灯+3A+Q的值。tz2+5Z?2+7c2十.参数法例10.己知abc0,厂

3、、卄厂a+b-cci-b+c-a+b+c且满足=cb(d+b)(b+c)(c+d)的值计算6=m+l(m-1)(m+1)+1mm2-1+1■mm=a2+5a+5abca+b-ca-b+c-a+b+c解:吸=cb则有a+b-c=ck,a-b+c=bk,一a+b+c=ak三式相加，得d+b+c=(a+b+c)£当a+b+cHO时，k=1o则a+b=2c,ci+c=2b，b+c=2a，原式=8当a+b+c=0时，则a+h=-c,a+c=-b,h+c=-a,原式=一1(a+l)(a+2)(a+3)(a+4)+1a2+5a+5把分子括号适当搭配[(a+1)(a+4)][(a

4、+2)(a+3)]+l=(a2+5a+4)(a2+5a+6)+l・这时若把a2+5a+5看作m则a2+5a+4=m—1a2+5a+十一.常数代换法例11.已知a+b+c=0,abcH0,求a(—l—)+b(—l—)+c(—l—)+3的值。bcacab小ccibc解：t3=—I1—,abcE八/11、aiz1Lbz11、cz11I、，7、八•••原式=a(—+—)+—+b(—+—)+—+c(—+—)+—=(—+—+-)(a+b+c)H0bcaacbabcabc十二.配方法例12.已知实数a,b,c满足6z+/2+c=0,ahc=S，那么丄+-+-的值是()abcs1

5、11be+ca+ab1“八解:•••—+—+-==—@c+co+cib)abcabc8又bc+ca+ab=丄[(tz+fe+c)2-(a2+b2+c2)]=--(a2+Z?2+c2),2—+—+—=——(a2+b2+c2)<0,故选Cabc16十三.利用因式分解例13.计算:_J

6、一(L_(a+b)2(a-b)2a+ba-b十四.利用乘法公式例14.计算:b2a2a，、”a2b2a2F)(^V-1)(^+F+1)s一ba、,b，baa2r/ba、,b，ba/解：原式=[(-+-)(—--•-+—)]•[(一一-)(—+---+-Y)]ciberabbciberab

7、ah3a_b6a6_bn-a[2=(产+訐〒一厉2孑一厉=贡厂1十五。变形例15己知x2-3x+1=0,求x'+兀2的值。丄分析：将已知两边同除以x(xHO)可变出x+7，然后利用完全平方公式的逆用可求出1的值。解：由x2-3x+1=0,两边同除以x(xHO),得丄丄x~3+x二0,即x+兀=3_L丄所以x2+x2二(x+兀)2-2二3‘-2二71221十六、分组计算技巧例16计算W+需？-訐-7f2x+2_x+3X-5_x-4十七、分裂整数法例17、计算：77T"171*7^4"7^3练习题:3r—4AR1.已知「=亠+上一,求2A+B的值。兀・-3x+2x

8、-1x-21.计算：1—；1—；x—1x—3x+2—5%+6分式方程的解题型一:解分式方程，解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.3X兀+14例1•解方程⑴=-2(2)匕—一=1x-22-xx-ix2-题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程，方程两边同时乘以一个含有未知数的整式，并越去分母，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根通常称为增根.1.若关于x的方程+丄有增根，则增根是多少?产生增根的m值又是多无2_9兀+3x-3少？1X—42.若方程一+7有增根，则增根为.x3—XY33.若方程一^=2+^有

9、增根，则增