2018年高考数学一轮复习专题5.5数系的扩充和复数的引入（讲）

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1、第05节数系的扩充和复数的引入【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测数系的扩充和复数的引入1．理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念.2．了解复数的加、减运算的几何意义.3．掌握复数代数形式的四则运算.2013•浙江文2，理1；2014•浙江文11；理2；2017•浙江12.1.以考查复数的运算（特别是乘法）为主，基本稳定为选择题或填空题，为容易题；2.从各地高考命题看，考查复数的运算、概念相结合，复数的运算与复数的几何意义相结合，命题比较灵活，题型稳定，均为容易题.3.备考重点：理解有关概念是基础，掌握复数代数的四则运算法则是关键，熟、快、准

2、是得分的保障.【知识清单】1．复数的有关概念及性质1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．①当b＝0时，复数a＋bi为实数；②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．3.复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数

3、，复数z的共轭复数记作．5.复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作

4、z

5、或.即＝＝r＝(r≥0，r∈R)．对点练习：【2017浙江台州4月一模】已知复数的实部为1，则_________，__________．【答案】1【解析】，实部，所以，.2．复数的几何意义1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．对点练习：【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（

6、）（A）（B）（C）（D）【答案】A3.复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(3)＝＋i(z2≠0)．2..对点练习：【2017浙江,12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则，ab=．【答案】5，2【解析】由题意可得，则，解得，则【考点深度剖析】从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相

7、等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．【重点难点突破】考点1复数的有关概念及性质【1-1】下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；(3)若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；(4)x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；(5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是(　　)A．0B．1C．2

8、D．3【答案】A【解析】(4)只有当x，y∈R时命题才正确．(5)若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A.【1-2】(1)i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．3(2)若＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.【答案】（1）D；（2）3.【解析】(1)复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.故选D.(2)由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝(a＋b)＋(b－a)i，根据复数相等的定义可得∴a＋b＝3.故填3.【领悟技法】（1）中的负号易忽略

9、.（2）对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R.(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.【触类旁通】【变式一】【2017浙江嘉兴测试】已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（）A．-2B．-1C．0D．2【答案】A【变式二】已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设,则,故,解之得,则,故,应选B.考点2复数的几何意义【2-1】【2017浙江模拟】当时，复数在平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D

10、.第四象限【答案】D【解析】0，m－1<0，点在第四象限．【2-2】已知A，B是锐角三角形的两内角，