东北师范大学物理系.doc

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1、量子力学练习题1答案一。基本概念及简要回答1.和是否相等？为什么？答：不相等。因为是动量的本证态，而是动量的本证态，实际上与代表同一个态。2．判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？；；；。答：是算符，，是数，是矢量。3.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在和点不连续。4．为什么既不能把波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’，也不把波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？答：自由粒子的物质波包必然要扩散，与实验矛盾。所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴维逊-戈末实验表明

2、电子的波动性不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象，单个电子就具有波动性，否则每次只有一个粒子，但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样.所以不能‘把波看作由粒子构成的’。5.设，，。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。(1);(2);(3);(4)。解：（1），，即为厄米算符。（2），不是厄米算符。（3），，即不是厄米算符。（4），，即为厄米算符。6．(9’)指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？A.;B.;C.;D.;E.;F..答：B，E，F不正确。B中是力学量，是态在的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E，F不正确是因为左边是态与具体表象无关的Dirac符号态矢量，右边是

3、有具体表象决定的波函数。7．(5’)简述态迭加原理。若，且，那么的物理意义是什么？答：迭加原理：如果，是体系的可能状态，那么它们的线性迭加（是复数）也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学的态迭加原理。的物理意义：在态中包含态的振幅，是包含态的几率。当是某一个算符本征值时，就是这个本征值在这个态中出现的概率。8．(5’)在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零，这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？答：不能。因为9.(3’)确定，，哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。答：，是厄米算符，10．指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？A.;B.;C.;D.;E.;

4、F..答：B，E，F不正确。B中是力学量，是态在的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E，F不正确是因为左边是态与具体表象无关的Dirac符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。11.(5’)和是否相等？为什么？答：不相等。因为是动量的本证态，而是动量的本证态，实际上与代表同一个态。12.(5’)波函数的导数是否一定要连续？举例说明。答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在和点不连续。13.(6’)如果，且，都是束缚态，则证明：这里考虑了是束缚态，因而是有限的，及。同理可证如令则，由此得。二．1、质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态，若弹性系数突然变成，即势场变成

5、，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)解：粒子的波函数随时间的变化满足方程对时间区间积分得可见，当发生突变（由）、但变化量有限时，不变。以和分别表示场和场的基态波函数，当势场突然由变成后，粒子的波函数仍为。由于已变为，新势场中的基态是。于是随即测量粒子的能量，则测得粒子处于态的概率为，即粒子能量为新基态能量的概率为。将和写成标准形式：可得，又有：其中因此所求概率为2、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深势阱中运动，若t=0时，体系处于态，式中，n=1，2，3……求：（1）（5’）t=0时，及的几率（2）(5’)t>0时的波函数，能量的可能取值及相应

6、几率。（3）若粒子处于基态，求A．（5’）粒子的动量分布（只列公式，不必计算）B．(7’)当阱宽突然变为2a时，求粒子处于新的基态的几率（只列公式，不必计算）。解：（1）的几率是(2）三个可能值分别为，和，它们相应的取值几率分别为，和（3）A．将向动量本征态展开，即B．因为阱宽度突然变为，粒子状态还来不及变化，所以粒子仍处于态，而由于阱宽度变为，新的的本征态已变，设为，，则此时处于此态几率为3、计算对易关系，其中，。解：（1）（2）同理可得;（3）;（4）三．1、已知二维谐振子的哈密顿算符为，在对其施加微扰后，利用微扰论求第一激发态能量至一级修正。提示：，其中，，而为线谐振子的第个本征矢。解：

7、若选（1）则（2）已知的本征解为（3）令（4）则零级近似能量本征值可写成（5）第一激发态，简并度为。在简并子空间中，相应的零级近似解为（8）能量一级修正满足的本征方程为（9）相应的久期方程为（10）由（11）可以求出微扰矩阵元（12）而（13）将（13）和（14）的矩阵元代入久期方程（10），得到（14）显然，能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级，即将二度简并完全消除。为了求出近似本征矢