多变数函数的微分学偏导数定义定义1极限值教学

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1、第四章多變數函數的微分學§4.1偏導數定義定義4.1.1極限值■1定理4.1.1極限值的基本定理(1)極限值的唯一性:若存在，則其值必為唯一。(2)若且(與為常數)，則且為常數且2(3)若為多項式函數，則(4)若為有理函數，則其中與均為多項式函數且。(5)若存在且點以及點，則反之亦然。□3一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限值是否存在:若點及點，則(1)若且，而且，則不存在。(2)若，則不存在。(3)若，則不存在。4例1.試求下列各題的極限值。(1)若函數但，試決定。(2)若函數但，試決定。(3)

2、若函數但，試決定。(4)若函數但，試決定。5解:(1)我們考慮通過原點之直線上的點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在■6(2)我們考慮通過原點之直線上的點，則■7(3)我們考慮通過原點之直線上的點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在■8(4)我們考慮通過原點之直線上的點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在■9定義4.1.2連續函數在點連續■在上面的定義裡，我們有明確的數學定義，即此時必須滿足下列三個條件:(1)函數值存在(即點必定在函數的定義域內)。(2)極限值存在。(3)(即“極限值等於函數值”)

3、。當然，倘若函數在其定義域中的任意點均連續，則稱函數在中為連續函數。10定理4.1.2連續的基本性質(1)倘若與在點均為連續函數，則與與以及(為常數且)在點均為連續函數。(2)倘若為單變函數且為多變數函數，使得在點連續且在連續，則合成函數亦在點連續。(3)多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義域內均為連續函數。□11例3.試討論下列各函數的連續性。(1)若且(2)12解:(1)點的定義域又考慮通過原點之直線上的點，則在點之外均為連續。■13(2)點的定義域，且又在任何實數點均為連續。■14§4.2偏導

4、數與微分定義４.2.1第一階偏導數假設函數被定義在點的某個鄰域內，則函數在點對的第一階偏導數為而函數在點對的第一階偏導數為■15定義4.2.2第一階偏導數假設函數的定域義為，則函數對的第一階偏導數為而函數對的第一階偏導數為■同理，函數對的偏導數為。事實上，的偏導數還有其它的通用符號:16例1.試求下列各函數的第一階偏導數。(1)解:(1)■17定理4.2.1倘若為包含兩個自變數的函數，則與亦為包含兩個自變數的函數，而且與的第一階偏導數亦存在。□定理４.2.1裡四個函數稱為函數的第二偏導數，其常用的符號為18

5、同理，多變數函數的高階導數亦有其明確的定義，例如倘若為包含三個自變數的函數，則我們將有九個第二階導數以及二十七個第三階導數，其他情況依此類推，例如19例2.若，試求，與解:■20定理4.2.2假設為包含兩個變數的函數，倘若與在二度空間某開區域為連續，則;同理，倘若函數的高階偏導數在某開區域為連續，則，□同理，倘若的高階偏導數為連續函數，則我們有21例3.若，若而且，試證明與均存在但不相等。證明:22我們得證■23定義4.2.3可微分(的)假設為與的函數且定義在點的某個鄰域，倘若存在常數以及與的函數與，使得對

6、任意向量且而言，恒有(1)。(2)當。則稱函數在點為可微分的。■24定義4.2.4微分假設為與的函數且定義在點的某個鄰域，倘若存在常數以及與，則對任意向量且而言，我們稱函數在點的微分或全微分為■因此，假設為與的函數，而且其第一階偏導數與均存在，則函數的全微分為25例4.試求函數(即)在各定點與向量的全微分。解:■26定理4.2.3倘若函數在點為可微分的(differentiable)，而且，則□證明:且當時我們有#27由定理4.2.3，我們因此得到亦即我們有其中。28例5.試利用微分法求的近似值。解:設則,

7、取則即■29例6.一等腰三角形的三邊長為呎、呎、呎且其頂角為弳。倘若把此三角形的兩等腰長增加一吋且頂角增加徑，試問其面積改變若干?解:兩腰長為且頂角為之等腰三角形的面積為取則其面積的改變量為平方呎■30例7.倘若，若而且，試證明與均存在，但是函數在點是不可微分的。證明:取31則即不存在由定理4.2.3得知在點為不可微分的。■32定理4.2.4倘若函數在點為可微分的，則函數在點為連續。□證明:函數在點為可微分的取，則由定理7.2.3得知即由定義7.1.2得知函數在點為連續。#33定理4.2.5假設為二變數函數

8、且定義在點的某個鄰或。倘若其一階偏導數與在存在且在點為連續函數，則函數在點為可微分的。□總之，倘若為多變數函數，則我們得知(1)倘若函數在點為可微分的，則函數在點為連續。(2)倘若函數的一階導數存在且在點為連續，則函數在點為可微分的。即，若與均連續，則必可微分。(3)倘若函數的二階導數為連續函數，則;倘若函數的三階導數為連續函數，則有，高階導數則依此類推。34§4.3鏈導法則與隱函數的導數(thechainrul