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《概率论和数理统计第4章作业题解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第四章作业题解4.1甲、乙两台机床生产同一种零件,在一天内生产的次品数分别记为X和Y.已知的概率分布如下表所示:X0123P0.40.30.20.1Y0123P0.30.50.20如果两台机床的产量相同,问哪台机床生产的零件的质量较好？解：因为，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。4.2袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,现从中任意抽取3个球,用X表示取出的3个球中的最大编号，求E(X).解：X的可能取值为3,4,5.因为；；所以4.3设随机变量X的概率分布其中是个常数，求解:，下面求幂级数的和函数，易
2、知幂级数的收敛半径为，于是有根据已知条件，，因此，所以有.4.4某人每次射击命中目标的概率为,现连续向目标射击,直到第一次命中目标为止,求射击次数的期望.解：因为的可能取值为1,2,……。依题意，知的分布律为所以4.5在射击比赛中,每人射击4次,每次一发子弹.规定4弹全未中得0分,只中1弹得15分,中2弹得30分,中3弹得55分,中4弹得100分.某人每次射击的命中率为0.6,此人期望能得到多少分？解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则X~B(4,0.6)因为所以Y的分布律为Y0153055100P0.02560.153
3、60.34560.34560.1296故期望得分为=44.644.6设随机变量X的概率分布为说明的期望不存在。解:级数发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而的期望不存在.4.7设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,在各交通岗遇到红灯是相互独立的,其概率均为0.4.求途中遇到红灯次数的期望.解：设遇到红灯次数为X，依题意，知X~B(3,0.4)故4.8设随机变量X的概率密度函数为,求解：4.9设随机变量X的概率密度函数为又,求常数的值.解：由，得①因为所以，由，得②又由，得③解联立方程①②③，得，，4.10设随机变量X的概
4、率密度函数为说明的期望不存在.解:积分,显然,积分发散,根据连续型随机变量期望的定义,的期望不存在.4.11某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%.求考生外语成绩在60分至84分之间的概率.解：设，依题意得，又，则即有所以得所以故所求的概率为4.12对习题4.1中的随机变量X,计算.解：4.13设随机变量X的概率密度函数为,分别计算的期望和的期望解：因为，其中，所以故4.14对球的直径做近似测量,设其值均匀分布在区间内,求球体积的均值.解：设球的直径测
5、量值为，体积为，则有.显然的概率密度函数为因此,球体积的均值为.4.15游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行.设某一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且,求该游客等候时间的期望.解:用随机变量表示游客的等候时间(单位:分钟),则,其函数关系为由于,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为4.16设二维随机向量的概率密度函数为,求.解：因为，当时，当时，所以，又故4.17设随机变量X与Y相互独立,概率密度函数分别为和求.解：，因为X和Y相互独立，所以.4.18设二维
6、随机向量服从圆域上的均匀分布,求.解:根据二维随机向量的计算公式：此积分用极坐标计算较为方便，于是有4.19设随机变量X与Y相互独立,并且均服从,求.解：由于X服从，故其分布函数为同理，Y服从，故其分布函数为于是根据公式3.7.5，的分布函数为求到后得密度函数因此4.20民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出,沿途有10个车站.若到达一个车站时没有旅客下车,就不停车.设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的,求汽车的平均停车次数.解：用随机变量表示汽车的10个车站总的停车次数，并记显然，均服从两点分布，且，于是有由此求得.
7、4.21将一颗均匀的骰子连掷10次,求所得点数之和的期望.解：设Xi表示第i次掷出的点数(i=1,2,…,10)，则掷10次骰子的点数之和为。因为Xi的分布律为(k=1,2,…,6)，所以故.4.22在习题4.4中,若直到命中目标次为止,求射击次数的期望.解：设是从第次命中目标到第次命中目标之间的射击次数，的分布律为记随机变量，并且注意到随机变量概率分布相同，因此4.23求习题4.1中随机变量的方差.解：由T4.1知，，由T4.12知又故.4.24求习题4.9中随机变量X的方差解:由T4.1知，故4.25设二维随机向量的概率密度函数
8、为,求和.解：因为，当时，即所以，由对称性得，4.26设随机变量,并且X与Y相互独立,求和.解：因为，所以，又X和Y相互独立，故.4.27设二维随机向量的概率分布如下表:XY-101010.10.30.10.10.10.3求解容易求
