小升初奥数专题-第八讲比和比例关系

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1、第八讲 比和比例关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.　　这一讲分三个内容：　　一、比和比的分配；　　二、倍数的变化；　　三、有比例关系的其他问题.8.1比和比的分配　　最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.　　例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.

2、　　解：设甲的周长是2.　　　　　　甲与乙的面积之比是　　　　答：甲与乙的面积之比是864∶875.　　作为答数，求出的比最好都写成整数.　　例2如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.　　求上底AB与下底CD的长度之比...　　解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.　　三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积　　=（10-7）∶（7×2）=3∶14.　　答：AB∶CD=3∶14.　　两数之比，可以看作一

3、个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.　　例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.　　解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，　　中杯与小杯容量之比是4∶3，　　大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.　　∶　　=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）　　=44∶75.　　答：两者容量之比是44∶75.　　把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连

4、比的方法，再举一个更一般的例子.　　甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，　　3∶5=3×7∶5×7=21∶35，　　7∶4=7×5∶4×5=35∶20，　　甲∶乙∶丙=21∶35∶20.　　花了多少钱？　　解：根据比例与乘法的关系，..　　　　连比后是　　甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2　　=32∶48∶63.　　　　答：甲、乙、丙三人共花了429元.　　例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙　　　　，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？　　解：设甲的长度是6份.　　　　∶x=5∶4.　　　　乙与丙的长度之

5、比是　　而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.　　甲∶乙∶丙=30∶25∶26.　　答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26...　　　　于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.　　例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是　　　答：这些糖果每千克平均价是27.5元.　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33

6、的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：　　事实上，有稍简捷的解题思路.　　解二：先求出这三种糖果所买数量之比.　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.　　平均数是（15+11+10）÷3=12.　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.　　例7一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，　　　　解：新的分数，分子与分母之和是（10+23

7、+32），而分子与分母之比2∶3.因此　　..　　　　　　例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？　　解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.　　三人工作效率之比是　　他们分别需要完成的工作量是　　　　所需时间是　　700×3=2100分钟）=35小时.　　答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.　　这是三个数量按比例分配的典型例题.　　例9某团

8、体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：　　甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，　　那么丙