高考-数学冲刺专题~预习复习之——平面向量(教师版~)

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1、-高考数学（文）冲刺专题复习之——平面向量一、知识点梳理（一）平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(与共线的单位向量是)．(4)平行向量（又叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行（共线）。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（

2、因为有)；④三点共线共线；(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量有传递性．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)（1）定义：①加法：（1）向量加法的三角形法则：；其要求是：（Ⅰ）前一向量的终点与后一向量的起点的重合，（Ⅱ）由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。（2）向量加法的平行四边形法则：其要求是：（Ⅰ

3、）把两个向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，（Ⅱ）向量的和为这两邻边所夹的对角线。（3）由有向线段首尾顺次相接所围成的封闭图形结果为。即：（Ⅰ）（三角形三边的向量和）（Ⅱ）。一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．②减法：，其要求是：（1）两个向量的起点为同一点，（2）由后一个向量的终点指一向前向量(2)坐标运算：若a=（）,b=（）则ab=（）．（3）几何表示：平行四边形法则、三角形法则-以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=－,=－且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．3.向量的数

4、乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①

5、λa

6、＝

7、λ

8、

9、a

10、；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)若=（），则·=（）．4．共线向量定理(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．(2)若=（）,b=（）则∥b．注意：(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证

11、明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．（二）平面向量的基本定理及其坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝

12、(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

13、a

14、＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

15、

16、＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．注意：（1）向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．当平面向量平行移动

17、到时，向量不变，即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．（2）误区-1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.（三）平面向量的数量积1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同