高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

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1、高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题1．直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质性质定理图形条件a∥α结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线

2、中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面163．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线和平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【典例探究】类型一

3、、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且△为正三角形。（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积。16ABCA1B1C1MN例2.如图，已知三棱柱中，底面，，，，，分别是棱，中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．【变式1】.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）设，求三棱锥的体积。16二、线面平行与垂直的性质例3、如图4，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥

4、的体积．例4、如图，四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，（I）求证：；（II）求三棱锥C—DEG的体积；（III）AD边上是否存在一点M，使得平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。16【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(Ⅰ)求证：AC平面BB1C1C；(Ⅱ)A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.4422444正视图侧视图俯视图三、三视图与折叠问题例5

5、、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。若为的中点，求证：面；（1）证明：∥面；（2）求三棱锥的体积。ABEPDC16例6.已知四边形是等腰梯形，（如图1）。现将沿折起，使得（如图2），连结。（I）求证：平面平面；（II）试在棱上确定一点，使截面把几何体分成两部分的体积比；（III）在点满足（II）的情况下，判断直线是否平行于平面，并说明理由。图1图2【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点.科网（I）求证：PB//平面AEC；（II）求四棱锥的体积；（Ⅲ）若F为侧棱PA上一点，且，则为何值时，平面BD

6、F.16【变式4】如图1所示，正的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥C-DEF的体积。四、立体几何中的最值问题例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A=AB=2.(1)求证:BC⊥平面A1AC；(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.图4ABCA116例8.如图，在交AC于点D,现将（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长

7、；（2）若点P为AB的中点，E为【变式5】如图3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，当变化时，求三棱锥体积的最大值。16高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）【典例探究】例1解：（Ⅰ）∵∴∥，又∴∴∥（Ⅱ）∵△为正三角形,且为中点，∴又由（1）∴知∴又已知∴，∴，又∵∴,∴平面平面,（Ⅲ）∵，∴,∴又，∴∴例2.（Ⅰ）证明：因为三棱柱中，底面又因为平面，所以.………………………1分ABCA1B1C1MNG因为，是中点，所以.　　　…………………………………………2分因为，……………………………………………3分所以

8、平面．……………………………………………4分（Ⅱ）证明：取的中点，连结，，因为，分别是棱，中点，16所以，.又因为，，所以，.所以四边形是平行四边形.…………………………………………6分所以.………………………………………………………