随机过程的应用

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1、马尔可夫链(过程)的发展与应用孙启明41264043金融1211.马尔可夫过程发展1.1马尔可夫过程简介马尔科夫过程(MarKovProcess)是一个典型的随机过程。设X⑴是一随机过程，当过程在时刻tO所处的状态为已知时，时刻t(t〉tO)所处的状态与过程在tO时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程屮的时同和状态既可以是连续的，乂可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。1.2马尔可夫过程的发展20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要

2、工具是微分方程和半群理论(即分析方法)：1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研宂工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在20世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了最重要的一类加以研究。1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一个变量來决定，而与它更前面的那些变量无关。这就是被后人称作马尔科夫链的著名概率

3、模型。也是在这篇论文里，马尔科夫建立了这种链的大数定律。用一个通俗的比喻来形容，一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间的蹿动就构成一个马尔科夫链。因为这只白鼠已没有了记忆，瞬间而生的念头决定了它从一个洞穴蹿到另一个洞穴；当其所在位置确定时，它下一步蹿往何处与它以往经过的路径无关。这一模型的哲学意义是十分明显的，用前苏联数学家辛钦(1894—1959)的话来说，就是承认客观世界屮有这样一种现象，其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程

4、，其最原始的模型就是马尔科夫链。这既是对荷兰数学家惠更斯(Ch.Huygens,1629—1659)提出的无后效原理的概率推广，也是对法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace,1749—1827)机械决定论的否定。这里应该指出，尽管拉普拉斯对概率论的早期发展作岀过重大贡献，但是他的部分哲学观点是不利于这门学科的深入发展的。十八世纪以來，随着牛顿力学的彻底胜利，一种机械唯物主义的决定论思潮开始在欧洲科学界蔓延，鼓吹最力者就是拉普拉斯。1759年他在巴黎岛等师范学院发表了一篇题为《概率论的竹学探讨》的演讲，淋漓尽致地表达出了这种思想。他说：“假如有人知道了某一时刻支配自然的一切

5、力，以及它的一切组成部分的相对位置，又假如他的智力充分发达，能把这一切数据加以充分的分析，把整个宇宙中从最巨大的天体到最微小的原子的一切运动完全包括在一个公式里面，这样对他就没有什么东西是不确定的了，未來也好，过去也好，他都能纵览无遗。”1812年，拉普拉斯又进一步提出“神圣计算者”的观念，认为这个理想的数学家只须知道世界某一时刻的初始状态，就可以从一个无所不包的微分方程屮算出过去和未来的一切状态。换句话说，他认为任意系统在t〉tO吋的状态x可由其初始吋刻tO和初始状态xO唯一决定。这可真是笔判终身、细评流年，数学家可以摆个卦摊了。马尔科夫的概率模型从根本上否定了系统中任一状

6、态x与其初始状态xO之间的因果必然性，从而也否定了‘‘祌圣计算者”的神话。还应该指出，马尔科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲学意义，而且具有真实的物质背景，在他的工作之前或同吋，一些马¥科夫链或更复杂的随机过程的例子已出现在某些人的研究中，只不过这些人没有自觉地认识到这类模型的普遍意义或川精确的数学语言表述出来罢了。例如苏格兰植物学家布朗(R.Brown，1773—1858)于1827年发现的悬浮微粒的无规则运动、英格兰遗传学家高尔顿(F.Galton,1822—1911)于1889年提出的家族遗传规律、荷兰物理学家埃伦费斯特(P.Ehrenfest，1880—1933)于

7、1907年关于容器中分子扩散的实验，以及传染病感染的人数，谣言的传播，原子核中自由电子的跃迁，人U增长的过程等等，都可用马尔科夫链或过程來描述。也正是在统计物理、量子力学、遗传学以及社会科学的若干新课题、新事实面前，决定论的方法显得百孔千疮、踵决肘见。有趣的是，马尔科夫本人没有提到他的概率模型在物理世界的应用，但是他利用了语言文学方面的材料来说明链的性质。在《概率演算》第四版中，他统汁了长诗《叶甫盖尼•奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律：这是长诗开头的两句，意为：“我不想取悦骄狂的人生，只希望博