基于改进基追踪方法的信号去噪

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1、基于改进基追踪方法的信号去噪

2、第11字典的构造对于观测到的离散信号s∈H,H为Hilbert空间，给定H中的字典φ={φγ，γ∈Γ}，其中Γ为指标集，φγ为H中的基函数，也称为原子。基追踪方法将信号稀疏表示问题定义为以下有结束的极值问题，即500)this.style.ouseg(this)">其中，αγ（γ∈Γ）为表示系数。如果将字典中的向量表示成矩阵φ的例，系数表示成一个列向量，则（1）式可表示成min

3、

4、α

5、

6、1subjecttos=φα(2)在含噪观测的情况下，考虑如下模型：y=s+σz其中s为真实信号，y为观测信号，z为标准高斯白噪声，σ为噪声根方差。基追踪方法去噪

7、归结为求解以下优化问题：500)this.style.ouseg(this)">以上最优化问题致力于最小化信号重建误差，同时使得信号的表示最稀疏。正则化参数λ控制着允许误差与稀疏性之间的平衡。由（3）式可见，基追踪方法去噪的核心问题涉及到原子的选取、字典的构造、求解算法设计等三个方面。其中，字典的构造是基追踪方法的重要环节。为了尽可能精确地表示信号，字典与信号应用是自适应的，或者说字节是从信号的学习中得到的。通常，基追踪方法所使用的字典有完备的、过完备的、欠完备的等。可以根据信号的先验信息及实际需要设计字典。一般设计的字典是完备或过完备的。对于简单信号去噪，一般只需要构造完备

8、的字典。对于复合信号对噪问题，通常需要构造过完备的字典。对于完备字典，同样存在信号的稀疏表示问题，因为噪声总是处处奇异的。本文所采用的字典主要有：（1）Heaviside字典500)this.style.ouseg(this)">此字典中原子不是正交的，但是对于任意长度为n的一维离散信号s=(s1s2…sn)都有以下表示：500)this.style.ouseg(this)">Heaviside字典具有上三角形式，结构简单，善于捕捉分片常数信号中的突变特征。（2）时间-尺度字典（小波字典）以Haar小波字典为例：你小波基：ψ=l[0,1],母小波基：ψ=1[1/2,1],1-

9、1[0,1/2]Haar小波字典中包含小波基的平移和伸缩变换以及小波基的平移变换。设ψ=（a,b,v），其中α∈（0，∞）为尺度变量，b∈[0，n]表征位置，v∈{0,1}表征性别。Haar小波字典形式为：500)this.style.ouseg(this)">包含n个原子，构成一组正交基。当然还有其它类型的小波字典，尽管有些小波基没有类似Haar小波基这样明确的小波函数表达式，但它们的字典都有与Haar小波字典类似的离散结构。比较常用的主要用Daubechies、Coiflet、Symmlet等。小波字典应用于表示分片光滑信号。（3）Heaviside字典+小波字典对于比较

10、复杂的复合信号，单一的字典下无法得到信号的最稀疏表示，此时可将几种字典合成，从而得到过完备的字典。例如Heaviside字典+小波字典。2新的求解算法文献[1]将（3）式等阶于如下二次规划问题：500)this.style.ouseg(this)">文献[1]采用内点算法求解以上二次规划问题。这种算法收敛性能稳定，但由于它是一种大尺度的线性规划算法，复杂度高，所耗费的计算时间非常长，不便于实际应用，为此，针对（3）式，采用一种新的迭代算法来求解以上最优化问题。首先，给出l1范数的平滑近似500)this.style.ouseg(this)">其中，N为向量z的长度，ε为非常小

11、的常数（ε>0），本文取ε=10-6)。500)this.style.ouseg(this)">其中，β为迭代步长，0<β≤1,迭代初值可取α（0）=φHY。迭代的终止条件由500)this.style.ouseg(this)">控制（本文取δcG=10-3），这样即可得到优化问题的解α。在得到表示系数α的估计α后，可由s=φα得到的重构的信号。3正则化参数λ的选取在所考虑的噪声为高斯白噪声以及对字典φ进行规范化（

12、

13、φγ

14、

15、2=1）的情况下，文献[1]中λ的经验值取为500)this.style.ouseg(this)">，其中，P为字典φ的势。此经验值实际对应

16、于正交基下小波小噪方法的中阈值。因此这种参数的选取方法依赖于对信号中的噪声方差的精确估计。而对噪声方差的精确估计通常是比较困难的。因此该经验值是一种次优值。可从另一个角度来考虑正则化参数的选取方法。容易证明，在对字典φ进行正交化后，目标函数具有单峰性质（目标函数为函数），因此可通过最小化目标函数，在迭代算法中用线性搜索的方法寻求最优。500)this.style.ouseg(this)">4实验结果为了验证本方法的去噪效果，将其应用于一维信号去噪实验，并与小波软、硬阈值去噪方法以及atlab程序，分片常