高中理科椭圆的典型例题

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1、典型例题一例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：∴，∴．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可．典型例题三例3已知中心

2、在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为，由，得，∴，，，∴，∴为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．（1）求证；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．证明：（1）由椭圆方程知，，．由圆锥曲线的统一定义知：，∴．同理．∵，且，∴，即．（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为

3、．又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得又∵点，都在椭圆上，∴∴．将此式代入①，并利用的结论得∴．典型例题五例5已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在，设，由已知条件得，，∴，．∵左准线的方程是，∴．又由焦半径公式知：，．∵，∴．整理得．解之得或．①另一方面．②则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进

4、而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得．由韦达定理得．∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：．解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得①－②得．⑤将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：

5、过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由求出，，在得方程后，不能依此写出另一方程．解：（1）设椭圆的标准方程为或．由已知．①又过点，因此有或．②由①、②，得，或

6、，．故所求的方程为或．（2）设方程为．由已知，，，所以．故所求方程为．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程或．典型例题八例8椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．解：由已知：，．所以，右准线．过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一

7、半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9求椭圆上的点到直线的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为．当时，．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问

8、题的能力，在求的最大值时，要注意讨论的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标