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《矩估计与极大似然估计的典型例题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、关于矩估计与极大似然估计的典型例题例1，设总体X具有分布律⎛123⎞X~⎜⎟⎜22⎟⎝θ2θ(1−θ)(1−θ)⎠其中0<θ<1为未知参数。已经取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1，试求参数θ的矩估计与极大似然估计。解：（i）求矩估计量，列矩方程（只有一个未知参数）22E(X)=θ+2×2θ(1−θ)+3×(1−θ)=3−2θ=X43−3−X3−x35得θ矩====2226（ii）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率L(θ)=P(X=x,X=x,X=x)112233=P(X=1,X=2
2、,X=1)123=P(X=1)×P(X=2)×P(X=1)123225=θ×2θ(1−θ)×θ=2θ(1−θ)对数似然lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1−θ)dlnL(θ)51=−=0dθθ1−θ得极大似然估计为θˆ=5极6例2，某种电子元件的寿命（以h记）X服从双参数指数分布，其概率密度为⎧1⎪exp[−(x−µ)/θ],x≥µf(x)=⎨θ⎪⎩0,其他其中θ，µ>0均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为x1,x2,L,xn.（1）求θ，µ的最大似然估
3、计量；（2）求θ，µ的矩估计量。解：（1）似然函数，记样本的联合概率密度为nL(θ，µ)=f(x1,x2,L,xn;θ，µ)=∏f(xi)i=1n⎧1⎪∏exp[−(xi−µ)/θ],x1,x2,L,xn≥µ=⎨i=1θ⎪⎩0,其他n⎧1⎪nexp(−(∑xi−nµ)/θ),µ≤x(1)=⎨θi=1⎪0,µ>x⎩(1)在求极大似然估计时，L(θ，µ)=0肯定不是最大值的似然函数值，不考虑这部分，只考虑另一部分。取另一部分的对数似然函数nlnL(θ,µ)=−nlnθ−(∑xi−nµ)/θ,µ≤x(1)
4、i=1n⎧⎪∑xi−nµ∂lnL(θ,µ)n⎪=−+i=1=02⎨∂θθθ⎪∂lnL(θ,µ)n⎪=>0⎩∂µθ可知关于θ，µ的驻点不存在，但能判定单调性∂lnL(θ,µ)n由=>0知∂µθnlnL(θ,µ)=−nlnθ−(∑xi−nµ)/θ,µ≤x(1),i=1关于µ是增函数，故µˆ=x极(1)n∑xi−nµ∂lnL(θ,µ)n=−+i=1=将之代入到20中得∂θθθθˆ=x−x极(1)则µˆ=xθˆ=x−x极(1)，极(1)一定能使得似然函数达到最大，故θ，µ的极大似然估计为⎧⎪θˆ=x−x极(
5、1)⎨⎪⎩µˆ极=x(1)（2）列矩方程组（两个未知参数）⎧+∞1⎪E(X)=∫xexp[−(x−µ)/θ]dx=µ+θ=X⎪µθ⎨n2+∞212212⎪E(X)=xexp[−(x−µ)/θ]dx=(µ+θ)+θ=X∫∑i⎪µθn⎩i=1解出⎧1nθˆ=(X−X)2⎪矩∑i⎪ni=1⎨1n⎪2⎪µˆ矩=X−∑(Xi−X)⎩ni=1例3，设总体X~U[0,θ]，其中θ>0为未知参数，X1,X2,K,Xn为来自总体X的一组简单随机样本，x1,x2,K,xn为样本观察值，求未知参数θ的极大似然估计。解：似
6、然函数，即样本的联合概率密度⎧1n,0≤x,x,L,x≤θ⎪n12nL(θ)=f(x1,x2,L,xn;θ)=∏f(xi)=⎨θi−1⎪0,else⎩L(θ)=0肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，取对数似然lnL(θ)=−nlnθ,θ≥x(n)dlnL(θ)n=−<0dθθ知lnL(θ)=−nlnθ在θ≥x(n)内是单调递减的，故θ取x(n)能使得似然函数达到最大，则θ的极大似然估计值为θˆ=x，极大似然估计量为θˆ=X极(n)极(n)
