概率论与数理统计教程(魏宗舒等编)课后习题答案.pdf

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1、第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。解(1)记9个合格品分别为正,正,⋯,正，记不合格为次，则129Ω={(正1,正2),(正1,正3),⋯,(正1,正9),(正1,次),(正2,正3),(正2,正4),⋯,(正2,正9),(正2,次),(正,正),⋯,(正,正),(正,次),⋯,(正,正),(正,次),(正,次)}343938989A={(正1,次),(正2,次),⋯

2、,(正9,次)}(2)记2个白球分别为ω，ω，3个黑球分别为b，b，b，4个红球分别12123为r1，r2，r3，r4。则Ω={ω1，ω2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}(ⅰ)A={ω，ω}(ⅱ)B={r，r，r，r}1212341.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1)叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC=C成立？(3)什么时候关系式C⊂B是正确的？(4)什么时候A=B成立？解(1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)ABC=C等价于C⊂AB，

3、表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。1.3一个工人生产了n个零件，以事件A表示他生产的第i个零件是合格品i（1≤i≤n）。用A表示下列事件：i(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。nnnnn解(1)∩Ai;(2)∩Ai=∪Ai;(3)∪[Ai(∩Aj)];i=1i=1i=1i=1j=1j≠in(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为∪AiAj；i,j=1i≠j1.4证明下列各

4、式：(1)A∪B=B∪A;(2)A∩B=B∩A(3)(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(4)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(5)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)nn(6)∩Ai=∪Aii=1i=1证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。2解样本点总数为A=8×7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、813中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、

5、11、13中的一个组合，所以211事件A“所得分数为既约分数”包含A+2A×A=2×3×6个样本点。于是3352×3×69P(A)==。8×7141.6有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。⎛5⎞解样本点总数为⎜⎜⎟⎟=10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必⎝3⎠须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一3个三角形”包含3个样本点，于是P(A)=。101.7一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种

6、排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!483!2!2!2!个样本点。所以P(A)==13!13!1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9×10−1=89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为17P(A)=891.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每

7、一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所7以样本点总数为9。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于7“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是97A9P(A)=。791.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？449⎛9⎞解用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)==⎜⎟，所以10000

8、⎝10⎠449⎛9⎞P(A)=1-P(