非常好的讲义----二次函数图像与性质

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1、二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，、、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象1．二次函数图象与系数的关系（1）决定抛物线的开口方向当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然．决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互

2、为相反数，则形状相同、开口相反．（2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧．（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交

3、点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．3.点的坐标设法⑴一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点.⑵二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点．⑶点关于的对称点为．4.二次函数的图象信息⑴根据抛物线的开口方向判断的正负性．⑵根据抛物线的对称轴判断的大小．⑶根据抛物线与轴的交点，判断的大小．⑷根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于

4、的等式．⑹根据抛物线的顶点，判断的大小．7三、二次函数的图象及性质1．二次函数的性质：⑴抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（轴）．⑵函数的图像与的符号关系．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2．二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小

5、；时，随的增大而增大；时，有最大值．3．二次函数或（）的性质⑴开口方向：⑵对称轴：（或）⑶顶点坐标：（或）⑷最值：时有最小值（或）（如图1）；时有最大值（或）（如图2）；⑸单调性(单调性的概念无需掌握)：二次函数（）的变化情况（增减性）①如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；7②如图2所示，当时，对称轴左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与轴的交点：（0，C）；②与轴的交点：使方程（或）成立的值．例题精讲一、二次函数的概念【例1】已

6、知函数⑴当，，是怎样的数时，它是一次函数？⑵当，，是怎样的数时，它是正比例函数？⑶当，，是怎样的数时，它是二次函数？二、二次函数的图象及性质1、画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．2、画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例2】已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（）第一、二、三象限第一、二、四象限第二、三、四象限第一、三、四象限【例3】已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第象限.【例4】函数与的图象可能是()【例5】在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　

7、　）7【例1】在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）【例2】下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（）第一象限第二象限　　第三象限第四象限【例3】已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（）第一象限第二象限第三象限第四象限【例4】已知二次函数的与的部分对应值如下表：…………则下列判断中正确的是（　　）A.抛物线开口向上　　　　　　B.抛物线与轴交于负半轴C.当时，D.方程的正根在与之间【例5】若二次函数（，为常数）的图象如右图，则的值为（）【例6】设二次函数图像如图所示，试判断的符

8、号．7【例1】二次函数的图象如下左图所示，判断，，，，，，的符号【例2】已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤【例3】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论；方程的两根之和大于0；随的增大而增大；④，其中正确的个数（）A．4个B．3个C．2个D．1个【例