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《高二自招圆锥曲线讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、1．（2009海淀）椭圆上有4个点，与相互垂直平分于原点O．（1）当A处于第一象限，且的斜率为1时，求直线的方程；（2）求四边形面积的最小值．2．已知圆，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围．解：（I）设椭圆的焦距为，因为，，所以，所以．所以椭圆：………………4分（II）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，，则所以，则，………………6分所以………………7分点（，0）到直线的距离则…
2、……………9分显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要所以………………11分当时，………………12分当时，又显然,所以综上，………………14分3．已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且．（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点．试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：由，得．2分依题意△是等腰直角三角形，从而，故．4分所以椭圆的方程是．（Ⅱ）解：设，，直线的方程为．将直线的方程与椭圆的方程联立，消
3、去得．所以，．若平分，则直线，的倾斜角互补，所以．设，则有．将，代入上式，整理得，所以．将，代入上式，整理得．由于上式对任意实数都成立，所以．综上，存在定点，使平分．4．（2014北京）已知椭圆．（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论．⑴椭圆的标准方程为：，，则，离心率;⑵直线与圆相切．证明如下：法一：设点的坐标分别为，其中．因为，所以，即，解得．当时，，代入椭圆的方程，得,故直线的方程为．圆心到直线的距离．此时直线与圆相切．当时，直
4、线的方程为，即．圆心到直线的距离．又，，故．此时直线与圆相切．法二：由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，，①当时，，易知，此时直线的方程为或，原点到直线的距离为，此时直线与圆相切；②当时，直线的方程为，联立得点的坐标或；联立得点的坐标，由点的坐标的对称性知，无妨取点进行计算，于是直线的方程为：，即，原点到直线的距离,此时直线与圆相切。综上知，直线一定与圆相切．法三：①当时，，易知，此时，，原点到直线的距离，、此时直线与圆相切；②当时，直线的方程为，设，则，，联立得点的坐标或；于是，,，所
5、以,直线与圆相切；综上知，直线一定与圆相切5．（2009山东）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，，，，．椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设，，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，，即，，，．解得：，，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直
6、线过定点．所以，直线过定点，定点坐标为．6．（2009山东高考理科数学）设椭圆（）过，两点，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求出的取值范围；若不存在，请说明理由．设椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求
7、AB
8、的取值范围，若不存在说明理由
9、。解:（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．因为,所
10、以,,①当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”．②当时,．③当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,
11、AB
12、的取值范围为即:7．（江苏）已知抛物线与圆（）相交于四个点．（1）求的取值范围；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的交点的坐标．（1）由题意可知，所以圆欲与抛物线有四个交点，必处于轴的右侧，则；（2）设，由圆及抛物线的对称性可知：点、分别处于第四、一象限，为其对角线，由对称性知，四边形为等腰梯形，即，所以两对角线的交点即直线与轴的交点；设直线的
