指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质

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1、指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根n为奇数n为偶数（2）．两个重要公式①；②（注意必须使有意义）。2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:;②正数的负分数指数幂:③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算

2、。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=axa>100时，y>1;x<0时,00时，01(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定

3、底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：①，②，③，④。（2）对数的重要公式：①换底公式：；②。（3）对

4、数的运算法则：如果，那么①；②；③；④。3、对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。∴0

5、义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1方法：可画出x=x0；当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1；当0

6、）值域R[0，）R[0，）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，）时，增；x∈时，减增增x∈(0,+)时，减；x∈(-,0)时，减定点（1，1）三：例题诠释，举一反三知识点1：指数幂的化简与求值例1.(2007育才A)（1）计算：；（2）化简：变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）(3)知识点2：指数函数的图象及应用例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）A

7、.1个B.2个C.3个D.4个变式：（2010华附A）若直线与函数且的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.知识点3：指数函数的性质例3.（2010省实B）已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断函数的单调性;（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.知识点4：对数式的化简与求值例4.（2010云浮A）计算：（1）（2）2(lg)2+lg·lg5+;

8、（3）lg-lg+lg.变式：（2010惠州A）化简求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).知识点5：对数函数的性质例5.（2011深圳A）对于，给出下列四个不等式：①②；③④其中成立的是（）（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与