spfa讲义+前向星优化

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1、SPFA算法　　求单源最短路的SPFA算法的全称是：ShortestPathFasterAlgorithm。　　SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.　　从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。　　很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。　　简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但

2、这不是我们讨论的重点。　　我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。　　定理:只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。　　证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。（松弛操作的

3、原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对i,j进行松弛，就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j]，如果该式成立则将d[j]减小到d[i]+w[i,j]，否则不动。）换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）　　期望的时间复杂

4、度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。　　实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）在一幅图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度是73，有时候意

5、义不大。这附图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？Path[]数组，Path[i]表示从S到i的最短路径中，结点i之前的结点的编号。注意，是“之前”，不是“之后”。最短路径算法的核心思想成为“松弛”，原理是三角形不等式，方法是上文已经提及的。我们只需要在借助结点u对结点v进行松弛的同时，标记下Path[v]=u，记录的工作就完成了。 SPFA算法采用图的存储结构是邻接表，方法是动态优化逼近法。算法中

6、设立了一个先进先出的队列Queue用来保存待优化的顶点，优化时从此队列里顺序取出一个点w，并且用w点的当前路径D[W]去优化调整其它各点的路径值D[j]，若有调整，即D[j]的值改小了，就将J点放入Queue队列以待继续进一步优化。反复从Queue队列里取出点来对当前最短路径进行优化，直至队空不需要再优化为止，此时D数组里就保存了从源点到各点的最短路径值。下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：设有一个有向图G＝{V，E}，其中，V＝{V0,V1,V2,V3,V4}，E＝{,,

7、,,,,}＝{2,10,3,7,4,5,6}，见下图：算法执行时各步的Queue队的值和D数组的值由下表所示。表一实例图SPFA算法执行的步骤及结果初始第一步第二步第三步第四步第五步queueDqueueDqueueDqueueDqueueDqueueDV00V10V40V20V300∞V42V22222∞∞5555∞∞∞∞99∞109999算法执行到第五步后，队Queue空，算法结束。源点V0到V1的最短路径为2，到V2的最短路径为5，到V

8、3的最短路径为9，到V4的最短路径为9，结果显然是正确的。SPFA在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。　标准SPFA过程(以求某个结点t到某个结点s的最短路为例，稍加修改即为单源