2012年全国高中数学联赛广东预赛试题及解答

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1、2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1.已知，则.答案：（或）解:2.函数的最小值等于.答案：1解：因为所以的最小值为1.3.已知，其中为常数，且.若为常数，则的值为.答案：解：由于是常数，故，且.将代入整理得，分解因式得.若，则，因此，与条件相矛盾.故，即.64.已知方程有两个相异的正实数解，则实数的取值范围是.答案：解法一：令，则原方程化为.根据题意，方程有两个大于1的相异实根.令，则解法二：令，则原方程化为.注意到这个关于的方程最

2、多有两个解，而由严格单调递增知每个最多对应一个，因此所求的应当使有两个相异的实数解，且满足的两个实数都是正的.由于都是正的，故都应大于1.由于，故，因此必须满足，及.因此的取值范围为.因此的取值范围为.5.将25个数排成五行五列：已知第一行,,,,成等差数列，而每一列，，，，（）都成等比数列，且五个公比全相等.若,,,则的值为______.答案：解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.6由,知且公差为6，故,.由,知公比.若，则,，故；若，则,，故.6.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为______.解：.函数与函数互为反函数，图

3、象关于对称.函数上的点到直线的距离为.设函数.由图象关于对称得：最小值为.7.将2个和2个共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有.答案：3960解：使得2个既不同行也不同列的填法有种，使得2个既不同行也不同列的填法有种，故由乘法原理，这样的填法共有种.其中不合要求的有两种情况：2个所在的方格内都填有的情况有72种；2个所在的方格内恰有1个方格填有的情况有种.所以，符合条件的填法共有种.68.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋

4、转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为.答案：.解：设梯形的上底长为，下底长为，高为，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为，因此，即.同理有，两式相除得，去分母化简得，代入得.注意到直角腰长等于高，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为.将代入化简得.结合可解得，因此，由勾股定理知另一条腰的长度为，因此梯形的周长为.二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.若，证明：直线的斜率满足.解

5、法一：设.由，有，即.……4分从而所以，，且.所以，……16分6解法二：设.则线段的中点...……8分.……16分2．（本小题满分20分）设非负实数，，满足.求的最大值.解：不妨设.显然有，.……………5分根据AM-GM不等式可得……………15分所以S的最大值为12，这时.……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数使得对于所有，，都能被整除.解：根据题目的条件，令，则能被整除.因此能被整除，也就是能被整除.因为与互素，所以能被整除，且，所以，.……………10分令，则能被整除，因此.从而，6对所有x.令，则能被整除.从而，对所有y.综上所述，，对所有x

6、.……………20分6