典型例题与习题1

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1、《数值分析》典型例题I一、二章内容提要典型例题分析例题与练习题实验题介绍具有n位有效数字,则绝对误差满足相对误差满足如果一个浮点数1.设x*是f(x)=0在[a,b]内的唯一根,且f(a)·f(b)<0,则二分法计算过程中,数列满足:

2、xn–x*

3、≤(b–a)/2n+12.Newton迭代格式:3.弦截法迭代格式:(n=0,1,2,·····)设,若存在a>0,r>0使得则称数列{xn}r阶收敛.定理2.6设x*是的不动点,且而则p阶收敛例1.设x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1×(x2+x3)的误差限。解：由

4、e(x1)

5、≤0.5×

6、10-2，

7、e(x2)

8、≤0.5×10-2，

9、e(x3)

10、≤0.5×10-2所以,

11、e(x2+x3)

12、≤10-2

13、e(x1×(x2+x3))

14、≤(1.21+0.5×13.46)×10-2=7.94×10-2例2.设计算球体V允许其相对误差限为1%,问测量球半径R的相对误差限最大为多少?解：由球体计算公式分析误差传播规律故当球体V的相对误差限为1%时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。相对误差传播规律Ex1.对球冠体积若允许其相对误差为1%,问应该对R,h如何限制?例3*.采用迭代法计算，取x0=7(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。E

15、x2：对是否都有这一性质?1-8序列{yn}满足递推关系yn=10yn-1–1(n=1,2,·····)若取y0=√2≈1.41(三位有效数字).递推计算y10时误差有多大？思考:由递推导出符号表达式可否用于计算？Ex3.用递推公式:In=1–nIn-1(I0=1-e-1)推导In的符号表达式1-12利用级数可计算出无理数的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn在其极限值上下摆动，试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。解:由部分和只需n>1000时,Sn有三位有效数Ex4.推导部分和数列加速的计算表达式2-6应用牛顿迭代法于方程x3–a=0,导出求立方根的迭代公式,并

16、讨论其收敛阶。解：令f(x)=x3–a，则牛顿迭代公式故立方根迭代算法二阶收敛例4.设a为正实数，试建立求1/a的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,当

17、1–ax0

18、<1时，迭代公式收敛。解:建立方程利用牛顿迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2整理，得例2.10用牛顿迭代法求解非线性方程组分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下nxnynxnyn0102211.06250.12501.64581.583321.06730.13911.55701.416331.06730.1392

19、1.54651.391741.06730.13921.54631.3912Ex6.若x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛阶Ex7.若x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿迭代法至少为二阶收敛Ex9隐函数定理条件满足时,利用G(x,y)=0可以计算隐函数的值,设有G(x0,y0)=0,则在x0附近有y=y(x).试分别构造牛顿迭代法和割线法计算函数值的迭代格式Ex8证明割线法可改写如下迭代公式Ex11确定下列方程的全部隔根区间(1)xsinx=1；(2)sinx–e-x=0；(3)x=tanx；(4)x2–e-x=0Ex10在计算机上对调和级数逐项求和计算当n很大时，Sn

20、将不随n的增加而增加。试分析原因。Ex12对于复变量z=x+iy的复值函数f(z)应用牛顿迭代公式时为避开复数运算,令zn=xn+iynf(zn)=An+iBn，f’(zn)=Cn+iDn证明牛顿迭代法的收敛域问题:用牛顿迭代法求解复数方程z3–1=0，该方程在复平面上三个根分别是z1=1选择中心位于坐标原点，边长为2的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色（例如红、黄、蓝）。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。收敛到z1的牛顿迭代初值点集合收敛到z2的牛顿迭代初值点集合收敛到z3的牛顿迭代初值点集合在复平面内,有一

21、些例外点是牛顿迭代不收敛的初值点.这些例外点构成了茹利亚集(为纪念法国女数学家Julia).