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《扩散问题的偏微分方程模型,数学建模》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第七节扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石汕开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒悄、水利工程、生态问题、房屋基逑、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，I•分普遍地存在着.显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大.事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.MCM的试题来自实际，是“真昀题㊉数学建模㊉计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对
2、上述这种奋普遍意义和数7:含暈尚，必须川计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重耍来源，例如，AMCM-90A,就是这类试题；AMCM-90A要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine）在人脑屮的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划.AMCM-90A要研究单层住宅浞凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与AMCM-90A—样，也是线性抛物型方程.木文交代扩散问题逑模的姐路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分
3、变换求解、如何确定方程与解的表达忒中的参数等关键数学过程，且以AMCM-90A题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1抛物型方程的导出设以0，｝2,0是｛时刻点0，），，2）处一种物质的浓度.任収•一个闭曲面S，它所闱的区域是il,由于扩散，从r到r+时刻这段时间闪，通过S流入Q的质量为dz由高斯公式得=J/+A/JJJ(6z2++c2^-^-)drd)'dzdzdx2dydz(1)其中，i，/?2'2分别是沿;v,y，z方向的扩散系数.由于衰减（例如吸收、代谢等），D内的质量减少为
4、(2)=JJJJk2udxdydzdt,其中P是衰减系数.山物质不灭定律，在Q内由于扩散与袞减的合作用，积存于的质量为换一种角度看，内由于深度之变化引起的质量增加为=JJJfw（x,y,z,Z+Ar）-w（x,y,z,t）］dxdydz=fff^drd^dzdz.£2a?dz:-k2u)dxdydzdt.巾Az，z，fi之任意性得du2d2u,2d2u7d2u,9(4)方程(4)是常系数线性抛物型方程，它就足有袞减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件(初始条件与边界条件等)匹
5、配冰能求得确定情况下的解.§2Dirac函数5(x)=^5{x)dx卜，x=0，物理学家Dirac为了物理模型之耑要，硬是引入丫一个当时颇遭微闶的，使得数学匈物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”蚋数.•=1.(5)它的竹景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为X，杆的线密度是/7(x)，在(-oo，x]段，杆子质量为m(x),则有dm(%)dx=广(x)，J/?(x)cLy=m(x).•(6)设此无穷长的杆子总质量为1,质量集中在x=x0点，则应有{1X>X’0，或写
6、成m(x)=H(x-x()),0，x<%，l，x〉O,[0,x<0,如果沿用(6)中的算法，则在质景集屮分布的这种情形乜PM=oo，X=0.几j_^/?(x)ck=//(x—又0)，于是得J/?(x)dx=1..(7)似足，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，(7)式邑能成立！但是，5W数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它.尽管当吋数学家们大都嘲笑这种函数，{HP.A.M.Dirac及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac于1
7、933年获诺W尔物理奖.当然Dirac也意识到我x)不是一个通常的函数，至于找•-•种什么办法來阐明况X)这一符号的合法性，那就是数学家的任务了.1940年，法国数学家许釓兹(L.Schwartz)严格证明了极用我X)的正确性，把5函数置于坚实的数学基础上；1950年，L.Schwartz获数学界最高奖Fields奖.5函数的重耍性质有：1)J<^(X-X0)dA=l.2)J二如-x())/(x)dv=/(x()).其中/O)eC(-oo，+oo)，即5(x-x0)摘出丫在x=的值.dH(x-x
8、Q)3)clx4)利x)的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：广J"^)(x-x0)/(x)^=(-l)V(w)(x0).事实上，由于况x-x())在+oo,一co处为零，则形式地用分部积分公式蜘-又0),(又)
9、二-J:3(x-xQ)fx)dx厂5’U-xG)/(x)dx，J—OO其中，/Cv)eC〃(一co,+OC),于是有(11)与(12)公式.5)对于识(x)eC(-oo，+<»)，有^(x)
