长江大学线性代数历年试卷+知识汇总

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1、网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。备注：以下为长大历年期末考试卷（有的没有答案）2006-2007学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，计15分）：1．已知；2．设，其中都是3维列向量，已知，则；3．设向量组线性无关，则必满足关系式；4．已知矩阵的特征值，，则，；5．已知二次型的秩为2，则．二、选择题（每小题3分，计15分）：1．阶矩阵与对角阵相似的充要条件是（）可逆的个特征值无零特征值的个特征值互不相同对应的每一个重特征根，一定有个线性无关的特征向量．2．下列命题中正确的是（）若与可加，且则若与可乘，则若与可乘，且，则若与可乘，且

2、则3．设是矩阵，则（）当有唯一解时，当有唯一解时，秩当有无穷多解时，只有零解当有无穷多解时，秩39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。4．设3×2矩阵，，其中是3维列向量，若线性无关，则线性无关的充要条件是（）能由线性表示能由线性表示矩阵与等价向量组与等价5．实二次型是正定的充要条件是，实数满足条件（）三、设，求。解：．四、已知，且，求．解：∴．五、已知齐次线性方程组，其中，，试讨论和满足何种关系时①方程组仅有零解；②方程组有非零解，并求其全部解．解：方程组的系数行列式39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。(1)且时，方程组

3、仅有零解；(2)或时，方程组有非零解；①时，即原方程组的同解方程组为，不妨设，则通解为：或②时，，且即原方程组的同解方程组为，通解为：．六、设矩阵与相似，且(1)求的值；(2)求可逆阵，使．解：(1)39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。(2)时，时，则．七、（1）设，若存在4阶非零矩阵，使，问：(1)是否可逆？可能取哪些值？（2）已知3阶矩阵的特征值为，求．解：(1)若可逆，则由知即，矛盾！故不可逆。(2)．八、已知向量组线性相关，线性无关，讨论的线性相关性．解：线性无关线性无关．又线性相关，故可由唯一线性表示，即（为常数）．设有一组常数，使．39网络

4、1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。即，又线性无关，则有线性无关．39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。2006-2007学年第二学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知，设是中元素的代数余子式，则；2．设，则；3．设，则使为相互正交的向量组的，；注：此答案不惟一．4．设齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件；5．设3阶方阵有可逆矩阵使得，为的伴随矩阵，则．二、选择题（每小题3分，共15分）1．设为阶矩阵，下列结论正确的是（），并且当均为可逆矩阵时，并且39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。

5、希望资料能够对你们有用。若，则或若，且为可逆矩阵时，则2．已知向量组是线性无关向量组，则下列向量组中仍为线性无关向量组的是（）3．设是3阶方阵，将的第一行与第二行交换得，再把的第二行加到第三行得，则满足的可逆矩阵（）4．设，，，则中不能与对角阵相似的矩阵是（）5．设为矩阵，为非齐次方程组的两个不同的特解，是对应齐次方程的基础解系，对任意常数，则下列正确的是（）的通解是的通解是的通解是的通解是三、（8分）计算行列式．解：39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。ⅠⅡ，其中：，，原式=．四、（10分）已知，其中，求及．解：，．五、（12分）向量组，，，，（1）求

6、向量组的秩；（2）求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．解：，39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。故：（1）向量组的秩为3；（2）为一个极大无关组，．六、（18分）当为何值时，方程组无解，有唯一解，或有无穷多个解，并在有无穷多个解时写出方程组的通解．解：方法一：，当，即且有唯一解．当时，方程组为，，所以此时原方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为，通解为．当时，，此时原方程组无解．方法二：39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。，讨论：1）当时，，原方程组无解．2）当且时，，原方程组有唯一解．3

7、）当时，同方法一．七、设有二次型（其中为整数）通过正交变换化为标准型，（1）求常数；（2）求化二次型为标准型的正交变换．解：,(1)∵,∴,,即：，得（舍去）．（2），当，，解得，39网络1、2班这三周重修的同学加油啊。嘿嘿。希望资料能够对你们有用。当，，解得,当，，解得,将单位化得:,．八、设是阶正定矩阵，是阶单位矩阵，证明：．证明：因为是正定矩阵，所以的特征值方法一：又的特征值为且，所以．方法二：因为存在正交阵Q使，于是，，所以．39网络1