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1、有效课堂教学例题选择的几点建议波利亚在《怎样解题》一书中指出:中学数学课的教学目的首先要教会学生思考.那么学会思考的途经是什么?就是解题. 如何搞好中学的例题教学,提升学生的解题能力?我们认为选择好例题十分关键,下面谈谈例题选题应遵循的的几个原则. 一、思想性 选择的习题要应用概念、定理、公式等数学知识,但不选只对概念、定理、方法进行复述的题目. 例1现有一批长度为3,4,5,6和7的细木棒,它们数量足够多,从中适当取3根, 组成不同的三角形中直角三角形的概率是. 解析:组成直角三角形只有3,4,5一种情况,组成三角形的个数可分成三
2、类:一类为等边三角形,共有5种;二类为等腰三角形,共有18种,三类为三边都不等三角形,共有C35-1=9种(除去3,4,7),所以共有32种,故组成不同的三角形中直角三角形的概率是132. 本题用到了概率的概念和计算公式,涉及分类讨论思想,需要学生具备一定的推理能力,是一个很有思想性的例题. 二、综合性 选择的例题从解法上看,宜选思路充满活力,综合性强的题,不选只是繁琐地堆砌公式的习题. 例2点P在直径为2的球面上,过P点作两两垂直的3条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的2倍,则这3条弦长之和的最大值是. 法1:以这3条弦为相邻边可
3、构成一个长方体,设其三边长为a,2a,b,则有 a2+(2a)2+b2=45a2+b2=4,设 a=25 cosθ b=2sinθ θ∈π2〗, 则有3a+b=65cosθ+2 sinθ=25 70sin(θ+φ)≤250 70. 法2:以这3条弦为相邻边可构成一个长方体,设其三边长为 a,2a,b ,则有 a2+(2a)2+b2=45a2+b2=4, 由柯西不等式知(3a+b)2≤5a)2+b2〗• 35)2+12〗 =4×1415
4、3a+b≤2570 ,当且仅当5a=3b时取等号. 本题要求学生具有空间想象能力,能用三角换元方法,利用三角函数有界性或利用柯西不等式来解决问题,综合性强、解题思路充满活力. 三、技巧性 选择例题时不选择对概念无理解价值,在思考方法上远离一般规律的题;不选技巧性很强的题,从总体来说强调通性、通法. 例3若函数 f(x)=13x3-a2x 满足:对于任意的 x1,x2∈ 都有
5、f(x1)-f(x2)
6、≤1 恒 成立,则a的取值范围是. 解析:f′(x)=x2-a2= (x+
7、a
8、)(x-
9、a
10、)
11、, 若
12、a
13、>1时,则有f′(x)<0知 f(x)在 上为减函数,所以
14、f(x1)-f(x2)
15、≤
16、13-a2
17、 =a2-13 ≤11 -233≤a≤ -1或1 x=
18、a
19、处取得最小值,需满足 23
20、a
21、3≤1 13 -a2+23
22、a
23、3≤1 23
24、a
25、3≤23 +a2
26、a
27、≤1,由上知a∈233, 233 〗. 本题题意很明显,就是考虑函数y=f(x)在闭区间上的最大值和最小值,学生能自然的考虑到对函数进行求导处理,进而考虑函数的极值点的位置.思路直接,容易入
28、口,作为上课例题恰当.对于那些题目解法独特、思考问题的入口较难发现,我们认为这样的数学问题只能作为课后习题让学生思考、提高比较好,但不宜作为上课例题. 四、拓展性 教师在选择课堂例题时,需要考虑例题的可拓展性.选择的例题无论从条件或结论,或条件与结论的部分都可以拓展,改变条件与结论中的部分就可产生新型的命题形式,这样更有利于提高教学效果. 图1 例4如图1:A是平面BCD外的一点,G,H分别是△ABC,△ACD的重心,求证:GH∥BD. 解析:本题是两个重心问题课课拓展到三个重心. 变题1:如图1:A是平面BCD外的一点,G、H、P
29、分别是△ABC、△ACD、△ABD的重心,若S△BCD=9,求S△GHP, 也可拓展到四个重心. 图2 变题2:如图2:A是平面BCD外的一点,G、H、P分别是△ABC,△ACD、 △ABD的重心,F是△BCD的重心,求 VF-GPH∶VA-BCD 课堂教学的例题选择除了注意上面的三点外,还必须注意(1)保证科学性,不出错题,或题意不明确的题;(2)一般在教学内容(学科指导意见)所要求的范围内;(3)一节课中题目要有层次性,要符合本节课堂的主题;一章节中题目安排要有整体性、系统性;(4)难度要符合学生的实际;
30、(4)不同类型课要选不同类型的题.