刘徽数学成就

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1、刘徽的数学成就文章来源：现代教育报·思维训练作者：本报 点击数：3994更新时间：2008-5-1815:52:49 一、刘徽生平　　刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．　　他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家．　　刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．　　观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽

2、鲁，采其所见，为之作注．”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．　　刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．　　从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模．二、《九章算术

3、注》　　此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．　　1．算术　　(1)十进分数　　刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值．这种记数法与现代刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即　　　　其中a1，a2，…，an是0至9之间的一位整数．　　(2)齐同

4、术　　《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．　　

5、2．代数　　(1)对正负数的认识　　《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．　　(

6、2)对线性方程组解法的改进　　《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法．例如方程组　　　　刘徽是这样解的：　　(1)×2，(2)×5，得　　　　(4)-(3)，得　　21y＝20(下略)．　　显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．　　(3)方程

7、理论的初步总结　　刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一

8、原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．　　对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之