2007年浙江高中数学竞赛b卷参考答案15

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1、智浪教育--普惠英才文库2007年浙江省高中数学竞赛B卷（参考答案）4.15一、选择题1.已知集合，，则＝（　　　）　A.B.　　C.　　D.　　解：.从而可得　。　　　　　　　　　　　　　　　　　应选　Ｄ。2.　当时，下面四个函数中最大的是（　　　）。　　　A.B.C.D.　解：因为，所以。于是有　，。又因为，即，所以有　。因此，最大。　　　应选　Ｃ。3.　已知椭圆上一点Ａ到左焦点的距离为，则点Ａ到直线的距离为（　　）　　　　A.B.C.　D.解：　设左右焦点为，则，。椭圆的离心率为。而即为右准线，由定义得，Ａ到直线的距离等于。　　　　　　　　　　　

2、　　　　　　　　　　　　　应选　　Ｃ。4.设非常值函数是一个偶函数，它的函数图像关于直线智浪教育--普惠英才文库对称，则该函数是　（　　　　）A.非周期函数　　　　　　　　B.周期为的周期函数C.周期为的周期函数　　D.周期为的周期函数　解：因为偶函数关于ｙ轴对称，而函数图像关于直线对称，则，即。故该函数是周期为的周期函数。应选　　Ｃ。5.　如果，则使的的取值范围为（　　）　　　　A.B.　　　　C.D.解：显然，且。　　　　。要使。当时，，即；当时，，此时无解。由此可得，使的的取值范围为。　　　　　　　应选　　　Ｂ　。6.　设，则（　　　）　A.１　

3、　B.　２　　Ｃ.　３　　D.　４　　解：　作图比较容易得到　。　　　　　　　　　　应选　　　Ｂ　。一、填空题7.　已知平面上不共线的四点O,A,B,C。若，则　　　　　　。　解：因为，所以。于是有　。因此。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案为：　２。智浪教育--普惠英才文库8.　已知数列，，前ｎ项部分和满足，则　　。解：　。于是　，（）。答案为：　。9.方程的解集合为　　　　　　　。　解：　当时，，（取到等号）。而，（取到等号）。于是有　当时，方程只有一个解。由于奇函数的性质，可知是方程的另一解。故方程的解集合为。10.今

4、天是星期天，再过天后是星期　　　。　解：　　其中均为正整数。　　因此答案为　　星期六。　11.　从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有　　　种。　解：若取出的３个数构成递增等比数列　，则有。由此有。当固定时，使三个数为整数的的个数记作。由，知应是的整数部分。，，，,，,,,.智浪教育--普惠英才文库因此，取法共有　。　　　　　　　　　　　答案为　91　。12.　整数，且，则分别为　　　　　　　　。解：方程两边同乘以８，得。　因为，所以要使左边为奇数，只有，即。则。要使左边为奇数，只有，即。从而有　，即。故有。　　答案

5、为　。一、解答题13.设Ｐ，Ｑ为圆周上的两动点，且满足与圆内一定点，使，求过Ｐ和Ｑ的两条切线的交点M的轨迹。解法一：连接PQ，OM，由圆的切线性质知，且PQ与OM交点E为PQ的中点。…………5分设，则，。从而得到E点的坐标为。…………10分由于，所以。又，于是有，即有…………15分化简得。上述为以为圆心，为半径的圆周。…………20分解法二：设Ｐ，Ｑ的坐标为。由题意知，过Ｐ，Ｑ的切线方程分别为智浪教育--普惠英才文库　　　…………①…………②…………③…………④…………5分由，得…………⑤若①和②的交点仍记为，由此得到()…………10分代入③和④，得联立

6、上述两式，即得…………15分因为，所以，即。同理可得。于是有再由⑤式，推出。由上可得，智浪教育--普惠英才文库。即有。上述为以为圆心，为半径的圆周。…………20分当时，也符合题设所求的轨迹。14.　设，，求的最大值。解：…………5分…………10分，…………15分当时，上式可以取到等号。故函数的最大值是。…………20分15.设，求证：。证明：因为，所以有。又，故有。…………10分于是有智浪教育--普惠英才文库得证。…………20分