2014-2018年高考真题选修4-5不等式选讲

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1、选修4-5不等式选讲考点不等式选讲1.（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=

2、x+1

3、+

4、x﹣1

5、．（10分）(1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；(2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g（x）=

6、x+1

7、+

8、x﹣1

9、=，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（

10、x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．2.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（Ⅱ

11、）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．3.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=

12、x+1

13、﹣

14、x﹣2

15、．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．3.（Ⅰ）∵f（x）=

16、x+1

17、﹣

18、x﹣2

19、=，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2

20、；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x

21、x≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（x）max=，∴m的取

22、值范围为（﹣∞，]．4.（2017•江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．4.证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．5.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝

23、x＋1

24、－

25、2x－3

26、.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式

27、f(x)

28、>1的解集.5.解(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示.(2)

29、当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，故f(x)>1的解集为{x

30、1

31、f(x)

32、>1的解集为.6.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f(x)＝

33、2x－a

34、＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝

35、2x－1

36、.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.6.解　(1)当a＝2时，f(x)＝

37、2x－2

38、＋2.解不等式

39、2x－2

40、＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x

41、－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝

42、2x－a

43、＋a＋

44、1－2x

45、≥

46、

47、2x－a＋1－2x

48、＋a＝

49、1－a

50、＋a，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于

51、1－a

52、＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).7.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

53、a＋b

54、<

55、1＋ab

56、.7.(1)解　f(x)＝当x≤－时,由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1,所以,-1