阶线性偏微分方程的分类

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1、一、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式(2.1.1)其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。引入下面二阶常系数线性偏微分算子则(2.1.1)可简单地表示为1两个自变量方程的化简一般形式：（2.1.1）则在非奇异变换下方程（2.1.1）变为（2.1.2）Jacobi行列式目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。非奇异3复合求导数学物理方程4系数之间的关系（2）（1）（3）数学物理方程5其他系数之间的关系（3*）数学物理方程（2.1.3）可以看出

2、，如果取一阶偏微分方程（2.1.4）的一个特解作为则从而A11=0。如果取（2.1.4）的另一个特解为则A22=0，这样方程（2.1.2）就可以简化。一阶偏微分方程（2.1.4）的求解可以转化为常微分方程的求解，将（2.1.4）改写成：如果将看作定义隐函数的方程，则从而有：（2.1.5）8假设是方程的特解，则关系式是常微分方程（2.1.4）（2.1.5）的一般积分。反之亦然。引理由此可知，要求方程（2.1.4）的解，只须求出常微分方程（2.1.5）的一般积分。数学物理方程9定义称常微分方程（2.1.5）为PDE（2.1.

3、1）的特征方程。称（2.1.5）的积分曲线为PDE（2.1.1）的特征曲线。（2.1.6）数学物理方程（2.1.5）（2.1.5）的解为：和当二阶线性偏微分方程为双曲型方程当二阶线性偏微分方程为抛物型方程当二阶线性偏微分方程为椭圆型方程记当时,(2.1.6）式给出一族实的特征曲线取则，这时方程变为若再作则上述方程变为：（2.1.7）右端为两相异的实函数双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第二标准型双曲型PDE抛物型PDE由此得到一般积分为由此令其中,为独立的任意函数。数学物理方程取与函数无关的作为另一个新的变量由于由此推出

4、数学物理方程因此，方程（2.1.1）可改写为抛物型方程的标准型而数学物理方程当时,(2.1.6）式各给出一族复特征线，在该变换下：且方程化为：令则有：（2.1.9）椭圆型PDE右端为两相异的复数§5-1二阶线性偏微分方程的分类由前面的讨论可知，方程(2.1.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。若方程(2.1.1)的主部系数在区域Ω中某一点(x0，y0)满足则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;相应地，

5、(2.1.7)、(2.1.8)和(2.1.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。2方程的分类如果方程在所讨论的区域内每点都是双曲型（抛物型或椭圆型），则称方程在区域内也是双曲型（抛物型或椭圆型）。标准形式弦振动方程（双曲型）描述波的传播现象，特性：对时间可逆；一维热传导方程（抛物型）反映热的传导、物质的扩散等不可逆现象；调和方程（椭圆型）描述平衡或定常状态；讨论Tricomi方程的类型例1设解判别式由此可得：在上半平面Tricomi方程为椭圆型，下半平面Tricomi方程为双曲型,

6、而在x轴上Tricomi方程为抛物型.例2：判断下面偏微分方程的类型并化简解：∵故故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程或故有或取新变量则，代入原方程得：即：对常系数二阶PDE可进一步化简，消掉一阶偏导数项或常数项令代入上述方程得：取：例题3：把方程分类并化为标准形式§5-1二阶线性偏微分方程的分类解：该方程的故该方程是抛物型的。特征方程：从而得到方程的一族特征线为：作自变量代换(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单的函数形式,即η=x或η=y)于是，原方程化简后的标准形式为：特征的解：例题4：判断下面偏微分方程的类

7、型并化简解：特征方程特征方程的解：特征线：令：双曲型方程例题5：求初值问题的解解：特征方程特征方程的解：特征线：令：双曲型方程方程化为依次对两个变量进行两次积分，得通解为由初始条件得求出从而原方程的解为例6：判定下列二阶方程的类型（1）（2）（3）例7：补充例题2.2、多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型n个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式(2.2.1)其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。记（2.2.1）中二阶导数項系数所构成的n阶矩阵为通过合同变换，有其中，矩阵B可逆，正惯性指标p：含1的个数

8、负惯性指标q：含-1的个数PDE(2.2.1)超双曲型的PDE(2.2.1)双曲型的PDE(2.2.1)超抛物型的PDE(2.2.1)抛物型的PDE(2.2.1)椭圆型的通过合同矩阵B，作非奇异线性变换双曲型标准形式PDE(2.2.1)化为标准型抛物型标准形式椭圆型标准形式例：判断下面偏微分方程的类型并化简解：∵故该