高等数学讲义.doc

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1、第一章函数、极限、连续§1.1函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1.口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2.在(a,b)内，若，则单调增加若，则单调减少口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负例1求解是奇函数，∵是奇函数，∵因此是奇函数。于是。例2设，则下列结论正确的是(A)若为奇函数，则为偶函数。(B)若为偶函数，则为奇函数。(C)若为周期函数，则为周期函数。(D)若为单调函数，则为单调函数。解(B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明为奇函数，所以，为偶函数。例3设，是恒大于

2、零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A)(B)(C)(D)解∵，∴单调减少于是xn+1>2，∴n+1=3,

3、n=2选(B)例3设，则当x→0时，是的()(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小解选(C)二、有关两个准则准则1单调有界数列极限一定存在。准则2夹逼定理。例1设，证明存在，并求其值。解∵我，(几何平均值≤算术平均值)用数学归纳法可知n>1时，，∴有界。又当n>1时，，，，则单调增加。根据准则1，存在把两边取极限，得(舍去)得，∴。口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。例2求。解令，则0

4、、公式2、例1求。解当x=0时，原式=1当x≠0时，原式==例2设在内可导，且，，求c的值。解:则拉格朗日中值定理，有其中ξ介于(x-1)与x之间，那么于是，e2c=e,2c=1，则口诀(4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。四、用洛必达法则求极限洛必达法则主要处理七种待定型极限：“”型，“”型，“0·∞”型，“∞-∞”型，“1∞”型，“00”型和“∞0”型口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。第一层次：直接用洛必达法则“”型用洛必达法则Ⅰ“”型用洛必达法则Ⅱ第二层次：间接用洛必达法则“0·∞”型例变为“”型“∞-∞”型例变为“”

5、型第三层次：间接再间接用洛必达法则“1∞”型，“00”型，“∞0”型均为形式而称为冪指函数，比较复杂。口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上。,而上面三种类型化为,这时一定是“0·∞”型再用第二层次的方法处理即可例=例1求。解原式=======例2设函数连续，且，求解原式=(分母令)=(用积分中值定理)=(ξ在0和x之间)=.口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。公式：(当连续时)例3高a>0,b>0常数，求解先考虑它是“”型。令令型=因此，于是，。口诀(8)离散数列“洛必达”；先要转化连续型。五、求分段函数的极限例求。解∴

6、口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。六用导数定义求极限例设曲线与在原点相切，求解由题设可知，于是七用定积分定义求极限公式：(连续)例1求。分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。解=例2求。解∵而由夹逼定理可知，口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。八、求极限的反问题例1设，求a和b.解由题设可知，∴1+a+b=0再对极限用洛必达法则例2、设在(0，+∞)内可导，>0，且满足，求解：先用冪指函数处理方法再用导数定义取，于是这样所以再由，可知C=1，则§1.3连续一、

7、连续与间断例1设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为(A)(B)(C)(D)解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立可用反证法：假若不然没有间断点，那么为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所以一定有间断点例2求的间断点，并判别其类型。解，考虑∴可见为间断点,是可去间断点，其它皆为第二类间断点。二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论）例1设在上连续，且，，证明存在，使得证令，则在上连续，，根据介值定理推论，存在使，即证。例2设在上连续，且，求证：存在，使。证∵在上连续，故有最大值M和最小值

8、m，于是根据介值定理，存在使∴.口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。