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1、高中数学教学随想一关系教材1辩证地审视教材.2.回归教材,以教材为中心.3.处理好教科书与教辅材料间的关系.二重视基础1.凡是基础的,都是重要的.要重视三基;每年高考,属三基方面的不会低于40%.2.对每个数学分支都要抓住其本质及生长点.例如,建立坐标系,达成数形结合,这是解析几何的灵魂,我们不能让圆锥曲线的次要性质及难题将它掩盖.三传统内容与新增内容1.传统内容在不断改革中,总的趋势是不会再增加.2.新增内容一览:简易逻辑,向量,线性规划,概率统计,递推数列,极限与导数…等等.3.新增内容的重要性中学数学
2、的教学内容要与现代科技的发展需要相适应,这是各发达国家数学课程改革的共同愿望;各新增内容都是在现代科技中有重大应用价值的数学知识,当然还不够,例如矩阵还没有进入.高考指挥棒只会促进而不会阻碍课程改革.4.要注意新增内容与传统内容的综合.5.作为以上说明的一个例子:递推数列.A.递推数列:古老而年轻的数学分支.B.递推数列与递推方法受重视的原因历史上,递推数列的一个著名例子是兔子增长问题,即Feibunachi数列,以及高阶等差数列,循环数列等.但近几年来由于计算数学,非线性数学和计算机应用发展的需要,它更受
3、到各方面的重视.下面是一些简单的例子:a.压缩映像原理与不动点理论;b.逐次逼近思想与各种迭代格式;c.离散动力系统中的混沌现象;d.函数迭代与分形e.系统理论与现代控制…C.近年来与递推方程有关的高考题举例:在高考中出现与递推数列有关的考题最早的是1981年的考题:已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）.设AC=a，BC=b，作数列u1=a-b，u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,…………，uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证：
4、un=un-1+un-2(n≥3)（附加题，本题满分20分，计入总分）.这实际上是从Feibunachi数列公式之一改编而成的题目.近年来与递推数列(方程)有关的高考题出现的频率就更多了.例如:a.设为正数列，且满足,求的通项.(1999年,全国)b.设函数的图象是自原点出发的一条折线,当时,图象是斜率为的线段,设数列由定义.(1)求及的表达式;(2)求的表达式及其定义域;(3)证明的图象与的图象在时不相交.(1999年,全国)c.设数列满足：，（I）当时，求并由此猜测的一个通项公式；（II）当时，证明对所
5、的，有（i）（ii）(2002,全国)c.设如图,已知直线及曲线上的点的横坐标为从C上的点作直线平行于轴,交直线于点,再从点作直线平行于轴,交曲线C于点.的横坐标构成数列.(Ⅰ)试求与的关系,并求的通项公式;(Ⅱ)当时证明.(Ⅲ)当时证明.(2003年,全国)d.设数列的前项的和为.已知且(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)证明数列为等差数列;(Ⅲ)证明不等式(2005年江苏).在其他省的自主命题卷中,也屡见不鲜.4.一些简单递推方程的解法(1)一阶线性方程此可用常数变易法;当为常数时,还可用不动点法.(2)一阶分式线性方
6、程,用变量代换法;(3)一些特殊的一阶非线性方程,如用变量代换法.(4)常系数高阶线性方程,如此可用特征值法和待定系数法;但须先建立相应的解的结构定理,因此正面的结果在中学数学中不会出现.5.关系Logistic映射(1)物种增长的数学模型:,这里.(2)Feigenbaum图.混沌与分形.四.谈谈数学思想方法1.重要性就高考而言,在考试说明中就有明确的要求.有人作了统计,在2003年的全国试卷中,所考到的数学思想方法如下表:1函数和方程思想2,3,5,7,8,19,222数形结合3,10,17,213分类
7、讨论思想3,15,19,21,224化归思想6,10,12,18,19,21,22所涉考题占了总题量的60%以上,而且这还没有把一些间接有关的题目计入.因此要有意识地加强数学思想方法方面的训练.3.数学思想与方法(MIM)的主要内容(1)总说:MIM是指在认识或处理各种数学或非数学现象的思维过程中所表现出来的各种数学观念及思维方法(2)思想与方法的异同点:数学思想主要涉及对数学科学的看法,对数学与外部世界关系的看法,对数学认识过程的看法等认识论方面的内容.此外还涉及到诸如处理数学问题时的意识,策略和指向等;
8、而数学方法则主要涉及到方法论等方面的内容.相对而言,数学思想更具普遍性和可创造性,抽象程度较高,理论性也较强;而数学方法则表现出更多的可操作性和程序性,实践性较强.数学思想和方法虽有差别,但两者是密不可分,相互交融的.如化归思想,在化归时就要用各种合适的方法,因此在讨论时,两者总是不加区分的.(3)MIM的特征:A.层次性.大致可分三个层次:数学的一般方法.实际上就是解题术,如换元法,待定系数法,配方法,判别式法
