扩散问题的偏微分方程模型,数学建模

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1、第七节扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着.显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大.事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题数学建模计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量

2、高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划.ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学

3、过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1　抛物型方程的导出设是时刻点处一种物质的浓度.任取一个闭曲面，它所围的区域是，由于扩散，从到时刻这段时间内，通过流入的质量为.由高斯公式得　　　　　　.　　　　　　　　　（1）其中，分别是沿方向的扩散系数.由于衰减（例如吸收、代谢等），内的质量减少为，　　　　　　　　　　　（2）其中是衰减系数.由物质不灭定律，在内由于扩散与衰减的合作用，积存于内的质量为.换一种角度看，内由于深度之变化引起的质量增加为　显然，即9由之任意性得　　　　　　　　　

4、　（4）方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2　Ｄirac函数物理学家Dirac为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：　　　　　　　　　（5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为，杆的线密度是，在段，杆子质量为，则有.　　　　　　　　（6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在点，则应有　或写成　，其

5、中为如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有且，于是得.　　　　　　　　　　　　　（7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它.尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac于1933年获诺贝尔物理奖.当然Dirac也意识到不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明这一符号的合法性，那就是数学家的任务了.1940年，法

6、国数学家许瓦兹（L.Schwartz）严格证明了应用的正确性，把9函数置于坚实的数学基础上；1950年，L.Schwartz获数学界最高奖Fields奖.函数的重要性质有：1）.　　　　　　　　　　　　　（8）2）.　　　　　　　　　（9）其中，即摘出了在的值.3）.　　　（10）4）的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：　　　　　　（11）　　　　（12）事实上，由于在处为零，则形式地用分部积分公式其中，，于是有（11）与（12）公式.5）对于，有.　　　　　　　　　　　　　　　（13）6）.（14）7）.　　　

7、（15）8）付立叶变换　　　　　　　　（16）　　　（17）　　　（18）9）拉普拉斯变换　　　　　　　　　　　　（19）　　　（20）从上面的定义与性质看出，Delta函数与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数.”§3　Cauchy问题的解设扩散源在点处，则此扩散问题满足Cauchy问题对（21）（22）进行付立叶变换，且令9，由于故得常微分方程Cauchy问题得唯一解.　　（23）对（23）求逆变换，由于，，故得　　　　　（24）如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程

8、（4）中的，于是有线性椭圆型方程的边值问题也可以用付立叶变换求解.当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件或第三边条件等，其中是区域的边界，是外法线方向，是实常数.9§4参数估计在Cauchy问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根.至于点源的质量与位置是已知的.设观测取样