数学：函数y=ax及y=logax图象交点个数探究

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1、探究函数与图象的交点个数问题函数与互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于的取值．①②探究由，得（1）当时①+②，得.令则,即.∵,∴为增函数,∴.两边取自然对数,得,即.令.求导,得．令,得．当变化时，的变化情况如下表：—0+↘极小值↗由上表可知,当时,．∵只有一个极值,∴.(ⅰ)当，即时，方程无解，此时函数与的图象没有交点；(ⅱ)当，即时，方程有一解，此时函数与的图象有一个交点；(ⅲ)当，即时，由于在内连续，且当时，；当时，，∴方程有两解，此时函数与的图象有两个交点．（2）当时由①、②，消去，得③由于，且，故,即．对③式两边取自然对数，得，即．两边取自然对数，得

2、．令．　求导，得．由，得．　令．则．由，得．　当时，；当时，．∴当时，．(ⅰ)当，即时，恒成立．∴，∵，，∴，即，当且仅当，且时取“＝”号．　∴在内是减函数．又∵当时，；当时，，且在内连续，∴方程恰有一解，此时函数与的图象有一个交点．(ⅱ)当，即时，∵，且在内连续，∴存在，使得，∴.当变化时，的变化情况如下表：－+－↘↗↘由上表可知，在内是减函数，在内是增函数，在内是减函数.下面证明,,.,.　令,.则当时,.∴在内是增函数,　　又∵在上连续,　　∴当时,,即.,.　　令,.易证它为减函数,∴当时,,即.∵,　∴,　又∵当时，；　当时，，且在内连续，结合的单调性,　∴在区间,,内

3、各有一个解.∴此时函数与的图象有三个交点．综上所述,函数与图象的交点有如下情况：当时，没有交点；当时，有一个交点；当时，有两个交点；当时,有一个交点；当时，有三个交点．http://2010.cqvip.com/onlineread/onlineread.asp?id=38512953