数学史与科学史--07 新数学的诞生

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1、一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中，……人类的一切探讨活动如果缺少数学上的说明和论证，那就不能称之为科学。——达·芬奇宇宙这本书是用数学语言写成的。——伽利略第八讲新数学的诞生一、代数学的新生二、几何学的变革三、微积分的创立一、代数学的新生1、近代代数学的进展2、代数方程的可解性3、群的发现1、近代代数学的进展一、代数学的新生al-Kitabal-mukhtasarfihisabal-jabrwa’l-muqabala《还原与对消计算概要》（约820）MohammedibnMusaal-Kh

2、owarizmi,783-850al-jabralgebra探讨了算术问题的一般性解法1、近代代数学的进展一、代数学的新生F.Vieta,1540-1603韦达把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算仅施行于具体的数。这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。缺点：齐性原则1、近代代数学的进展一、代数学的新生基本问题：如何求解三次和四次代数方程的根(1515,S.Ferro)x3+px=q(p,q>0)Tartagli

3、a,1499-1557NiccoloFontanax3+px2=q(p,q>0)A.M.Fior15351、近代代数学的进展一、代数学的新生G.Cardano,1501-1576ArsMagna《大法》1545年包含三次方程和四次方程的代数解法根的个数一、代数学的新生1、近代代数学的进展2、代数方程的可解性3、群的发现2、代数方程的可解性一、代数学的新生18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：高于四次的

4、代数方程的根式求解问题；欧几里得几何中平行公理的证明问题；微积分算法的逻辑基础问题。2、代数方程的可解性一、代数学的新生中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题；文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解。即在n>5时，对于形如xn+a1xn–1+…+an–1x+an=0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、

5、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。2、代数方程的可解性一、代数学的新生J.L.Lagrange1736-18131770年：《关于代数方程解的思考》不可能用根式解四次以上的方程2、代数方程的可解性一、代数学的新生N.H.Abel,1802-18291824年:《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》方程次数大于等于五时，任何以其系数符号组成的根式都不可能表示方程的一般解。阿贝尔方程一、代数学的新生1、近代代数学的进展2、代数方程的可解性3、群的发现3、群的发现一、代数学的新生基本问题：什么样的

6、特殊方程能够用根式来求解？E.Galois,1811-1832置换群伽罗瓦群伽罗瓦证明了：当且仅当方程的群满足一定条件（即它是可解群）时，方程才是根式可解的。也就是说，他找到了方程根式可解的充分必要条件。3、群的发现一、代数学的新生伽罗瓦关于群的发现工作，可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使得该集合满足封闭性、

7、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获得了统一。二、几何学的变革1、近代几何学的进展2、非欧几何学的诞生3、射影几何学的繁荣4、几何学的统一1、近代几何学的进展二、几何学的变革基本问题：其一是，一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？其二是，若两物体在各自相异的光源下具有相同物影，那么这

8、两个物体之间具有什么关系？G.Desargues,1591-16611639年：《试论锥面截一平面所得结果的初稿》对平行线引入无穷远点的概念，继而获得无穷远线的概念；认识到了对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性；通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。1、近代几何学的进展二、几何学的变革德沙格等人把他们使用的投影分析方法和所获得的结果，仍旧视为欧几里得几何的一部分。因而在17世纪人们对这二种几何学并不