国家集训队2007论文集9.周冬《生成树计数

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1、生成树的计数及其应用安徽周冬生成树的计数及其应用安徽周冬目录生成树的计数及其应用1目录1摘要2关键字2问题的提出2[例一]高速公路（SPOJp104Highways）2[分析]2预备知识2排列3行列式4新的方法7介绍7证明9理解12具体应用12[例二]员工组织（UVAp10766OrganisingtheOrganisation）13[分析]13[例三]国王的烦恼（原创）13[分析]14总结14参考文献14第14页，共14页生成树的计数及其应用安徽周冬摘要在信息学竞赛中，有关生成树的最优化问题如最小生成树等是我们经常遇到的，而对生成树的计数及其相关问题则少有涉及。事实上，生成树的

2、计数是十分有意义的，在许多方面都有着广泛的应用。本文从一道信息学竞赛中出现的例题谈起，首先介绍了一种指数级的动态规划算法，然后介绍了行列式的基本概念、性质，并在此基础上引入Matrix-Tree定理，同时通过与一道数学问题的对比，揭示了该定理所包含的数学思想。最后通过几道例题介绍了生成树的计数在信息学竞赛中的应用，并进行总结。关键字生成树的计数Matrix-Tree定理问题的提出[例一]高速公路（SPOJp104Highways）一个有n座城市的组成国家，城市1至n编号，其中一些城市之间可以修建高速公路。现在，需要有选择的修建一些高速公路，从而组成一个交通网络。你的任务是计算有多

3、少种方案，使得任意两座城市之间恰好只有一条路径？数据规模：1≤n≤12。[分析]我们可以将问题转化到成图论模型。因为任意两点之间恰好只有一条路径，所以我们知道最后得到的是原图的一颗生成树。因此，我们的问题就变成了，给定一个无向图G，求它生成树的个数t(G)。这应该怎么做呢？经过分析，我们可以得到一个时间复杂度为O(3n*n2)的动态规划算法，因为原题的规模较小，可以满足要求。但是，当n再大一些就不行了，有没有更优秀的算法呢？答案是肯定的。在介绍算法之前，首先让我们来学习一些基本的预备知识。预备知识下面，我们介绍一种重要的代数工具——行列式。为了定义行列式，我们首先来看一下排列的概

4、念。第14页，共14页生成树的计数及其应用安徽周冬排列定义1由1，2，…，n组成的一个有序数组i1i2…in称为1，2，…，n的一个排列。由排列的定义可知，i1，i2，…，in表示了n个不同的自然数，同时i1，i2，…，in中的每个自然数都是集合Sn={1，2，…，n}中的一个元素，换句话说，定义了集合Sn到自身上的一个一一对应。这个一一对应可以用符号记之，称为置换，而上述一一对应可以改写为其中j1j2…jn是1，2，…，n的一个排列。所以这个一一对应也可以用符号记之，因此对1，2，…，n的任一排列j1j2…jn，可定义任取一个排列i1i2…in，将其中两个相邻的自然数ij-1，

5、ij对换一下，便造出一个新的排列i1i2…ij-2ijij-1ij+1…in，称为原来排列的对换排列，这样一种步骤成为对换。显然，对于任何一个排列经过若干次对换后都可以变成标准排列12…n。不过，不管经过什么途径作对换，在给定排列i1i2…in后，关于对换的次数有下列重要定理。定理1将任意一个排列i1i2…in通过对换变成标准排列12…n，所需的对换次数的奇偶性与对换方式无关。利用这个定理，我们引入定义2一个排列i1i2…in称为偶（奇）排列，如果有一种方式，经过偶（奇）数次对换后，可以将排列i1i2…in变为标准排列12…n。设排列i1i2…in经过t次对换后变为标准排列12…

6、n，则数值(-1)t和对换方式无关。将它改写成，即第14页，共14页生成树的计数及其应用安徽周冬n个确定自然数1，2，…，n的排列，可以看作是集合Sn={1，2，…，n}到自身上的一个一一对应。将这个概念推广，任取n个元素的集合S={a1，a2，…，an}。对于集合S到自身上的一一对应称为的一个排列。容易看出，是的排列的充要条件是i1i2…in是1，2，…，n的排列。同样，排列变为标准排列的对换总次数的奇偶性和对换方式无关，因此引入符号其中t是某一种将变为的对换方式的对换总次数。下面我们介绍行列式。行列式一阶行列式是一个变量a11的函数det(a11)=a11，也可以改写成为二阶

7、行列式是四个变量a11，a12，a21，a22的函数，也可以改写成三阶行列式是九个变量aij(i，j=1，2，3)的函数，同样可以改写成为第14页，共14页生成树的计数及其应用安徽周冬通过观察一、二、三阶行列式的定义，我们得出了n阶行列式的一般定义。定义3n阶矩阵A的行列式是一实数，记作detA，它定义为行列式有下列几种常用的符号：由行列式的定义可知，利用定义直接计算行列式是很困难的，只有在阶数低时才可以直接用定义计算。为了能够进行计算，需要先导出行列式的若干基本性质，在通过这些