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时间:2018-10-08
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1、集合的概念与运算本资料为WORD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算 高考要求 1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解属于、包含、相等关系的意义. 2.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件的意义. 4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维品质 知识点归纳 定义:一组对象的全体形成一个集合. 特征:确定性、互异性、无序性. 表示法:列举法{1
2、,2,3,…}、描述法{x
3、P}.韦恩图 分类:有限集、无限集. 数集:自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ. 关系:属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等=. 运算:交运算A∩B={x
4、x∈A且x∈B}; 并运算A∪B={x
5、x∈A或x∈B}; 补运算={x
6、xA且x∈U},U为全集 性质:AA;φA;若AB,BC,则AC; A∩A=A∪A=A;A∩φ=φ;A∪φ=A; A∩B=AA∪B=BAB; A∩CA=φ;A∪CA=I;C(CA)=A; C(AB)=(CA)∩(CB). 方法:韦恩示意
7、图,数轴分析. 注意:①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ②AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ. ③若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。 ④区分集合中元素的形式:如;;;;;;。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别;0与三者间的关系。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况。 ⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系;符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几
8、何中的体现面与直线(面)的关系。 题型讲解 例1已知A={x
9、x3+3x2+2x>0},B={x
10、x2+ax+b≤0}且A∩B={x
11、0<x≤2},A∪B={x|x>-2},求a、b的值. 解:A={x
12、-2<x<-1或x>0}, 设B=[x1,x2],由A∩B=(0,2]知x2=2, 且-1≤x1≤0,① 由A∪B=(-2,+∞)知-2≤x1≤-1.② 由①②知x1=-1,x2=2, ∴a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2. 评述:本题应熟悉集合的交与并的涵义,熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与并的方法. 例2设集合
13、P={m
14、-1<m≤0},Q={m∈R
15、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是 A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q 剖析:Q={m∈R
16、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立}, 对m分类:①m=0时,-4<0恒成立; ②m<0时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得-117、-118、x2+mx-y+2=0},B={(x,y)19、x-y+1=0,20、0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围. 剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题的思维方法是很难找到的.事实上,集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质. 解:由得 x2+(m-1)x+1=0.① ∵A∩B≠,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1. 当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)21、<0及x1x2=1知,方程①只有负根,不符合要求; 当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 综上所述,所求m的取值范围是(-∞,-1]. 评述:上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解. 例4设,求实数的取值范围。 分析:若满足,则集合B需分两种情况求解。 ①集合A中的元22、素x是集合B中的元素;②集合B为空集。 解:由. ∵,∴ 当,即无实根,由, 即,解得
17、-118、x2+mx-y+2=0},B={(x,y)19、x-y+1=0,20、0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围. 剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题的思维方法是很难找到的.事实上,集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质. 解:由得 x2+(m-1)x+1=0.① ∵A∩B≠,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1. 当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)21、<0及x1x2=1知,方程①只有负根,不符合要求; 当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 综上所述,所求m的取值范围是(-∞,-1]. 评述:上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解. 例4设,求实数的取值范围。 分析:若满足,则集合B需分两种情况求解。 ①集合A中的元22、素x是集合B中的元素;②集合B为空集。 解:由. ∵,∴ 当,即无实根,由, 即,解得
18、x2+mx-y+2=0},B={(x,y)
19、x-y+1=0,
20、0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围. 剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题的思维方法是很难找到的.事实上,集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质. 解:由得 x2+(m-1)x+1=0.① ∵A∩B≠,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1. 当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)
21、<0及x1x2=1知,方程①只有负根,不符合要求; 当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 综上所述,所求m的取值范围是(-∞,-1]. 评述:上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解. 例4设,求实数的取值范围。 分析:若满足,则集合B需分两种情况求解。 ①集合A中的元
22、素x是集合B中的元素;②集合B为空集。 解:由. ∵,∴ 当,即无实根,由, 即,解得
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