矩阵和行列式基础

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1、行列式和矩阵－－－《线性代数》线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述，不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具，并推动了线性代数的发展。线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。行列式历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式

2、的理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对行列式做出连贯的逻辑阐述，法国数学家柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。行列式概念问题：求解二元一次方程组用消元法得二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆：主对角线上元素的乘积-次对角线上元素的乘积。求解二元一次方程组－－－用二阶行列式建立的克莱姆法则：例行列式的性质性质2对调行列式的任意两行（列），所得的行列式的绝对值不变，但符号相反。推论若行列式中有两行（列

3、）元素完全相同，则行列式为零。性质3某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。推论若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。性质4若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。性质5行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，则行列式的值不变。行列式的计算定理(行列式按行(列)展开定理)：行列式D等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即注：以元素中0最多的行或列展开克莱姆法则若线性方程组(1)的常数项不全为0时，称(1)为非齐次线性方程组；系数行列式D≠0，则方程组(1)

4、有唯一解。D=0,且Dj不全为零，则方程组（1）无解D=0且Dj＝0，则方程组（1)有无穷多组解若线性方程组(1)的常数项全为0时，称(1)为齐次线性方程组，这时Dj＝0；若系数行列式D≠0，则方程组(1)有唯一的零解。若D=0，方程组（1)可能有非零解矩阵矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方

5、程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱——毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。一、矩阵概念注矩阵和行列式不一样！！！矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！实矩阵——元素均为实数的矩阵。复矩阵——元素中有复数的矩阵。注我们只研究实矩阵，如不特别申明，今后所提到的矩阵均为实矩阵。方阵——行数与列数都等于的矩阵称为n阶矩阵，或强调称为n阶方

6、阵，常记为An二、矩阵运算1.加法即对应元素相加定义3实数k（k≠0）与矩阵A的数乘记作Ak或kA运算规律A+B=B+A(交换律)(A+B)+C=A+(B+C)（结合律）A+(-A)=OA+O=Ak(λA)=kλAk(A+B)=kA+kB(k+λ)A=kA+λA2.乘法乘法不适合交换律乘法不适合消去律乘法不满足交换律矩阵的转置方阵行列式定义6方阵A的元素位置不变构成的行列式称为方阵A的行列式，记为

7、A

8、或detA.三、逆矩阵定义7对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵。记作B=A-1唯一性：若A可逆，则A的逆阵是唯一的。因为若B

9、,C都是A的逆阵，即AB=BA=E,AC=CA=E,则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C所以逆矩阵是唯一的问题：存在性方阵A满足什么条件时可逆？如何求可逆时，怎样求逆矩阵？定理：若AB=E(或BA=E)，则B=A-1.