导数中双变量的函数构造

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1、导数中双变量的函数构造21．（12分）已知函数（）．　　（1）若函数是单调函数，求的取值范围；（2）求证：当时，都有．21．解：（1）函数的定义域为，∵，∴，∵函数是单调函数，∴或在上恒成立，①∵，∴，即，，令，则，当时，；当时，．则在上递减，上递增，∴，∴；②∵，∴，即，，由①得在上递减，上递增，又，时，∴；综上①②可知，或；...............................6分（2）由（1）可知，当时，在上递减，∵，∴，即，∴，要证，只需证，即证，令，，则证，令，则，13∴在上递减

2、，又，∴，即，得证．...............................12分[典例]　已知函数f(x)＝ax2＋xlnx(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直．(1)求实数a的值；(2)求证：当n＞m＞0时，lnn－lnm＞－．[解]　(1)因为f(x)＝ax2＋xlnx，所以f′(x)＝2ax＋lnx＋1，因为切线与直线x＋3y＝0垂直，所以切线的斜率为3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1．(2)证明：要证lnn－lnm＞－，即证ln＞－，只需

3、证ln－＋＞0．令＝x，构造函数g(x)＝lnx－＋x(x≥1)，则g′(x)＝＋＋1．因为x∈[1，＋∞)，所以g′(x)＝＋＋1＞0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．由已知n＞m＞0，得＞1，所以g＞g(1)＝0，即证得ln－＋＞0成立，所以命题得证．131．(2017·石家庄质检)已知函数f(x)＝a－(x＞0)，其中e为自然对数的底数．(1)当a＝0时，判断函数y＝f(x)极值点的个数；(2)若函数有两个零点x1，x2(x1＜x2)，设t＝，证明：x1＋x2随着t的增大而增大．解：(1

4、)当a＝0时，f(x)＝－(x＞0)，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，y＝f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增，所以x＝2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数y＝f(x)有一个极值点．(2)证明：令f(x)＝a－＝0，得x＝aex，因为函数有两个零点x1，x2(x1＜x2)，所以x1＝aex1，x＝aex2，可得lnx1＝lna＋x1，取对数，做差将两个零点x1，x2(x1＜x2)，用t表示，注意的隐含范围

5、。lnx2＝lna＋x2．故x2－x1＝lnx2－lnx1＝ln．又＝t，则t＞1，且13解得x1＝，x2＝．所以x1＋x2＝·．①令h(x)＝，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝．令u(x)＝－2lnx＋x－，得u′(x)＝2．当x∈(1，＋∞)时，u′(x)＞0．因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x∈(1，＋∞)，u(x)＞u(1)＝0，由此可得h′(x)＞0，故h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x1＋x2随着t的增大而增大．2．(2016·全国乙卷)已知函数f(

6、x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．13又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b

7、(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，故f(x)存在两个零点．③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．

8、又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.设g(x)