特别解析：线性规划求最值

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1、特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题例1　已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（　　）．（A）［－2，－1］　　（B）［－2，1］（C）［－1，2］　　（D）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域，考虑，变形为，这是斜率为1且随z变化的一族平行直线．是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数取得最小值为－1．故选（C）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0

2、，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［1，2］更为简单．例2已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为（）分析：将目标函数变形可得，所求的目标函数的最小值即一组平行直在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示：-553OxyCABL当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又，故的最小值为。二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题例3　设实数满足，则的最大值

3、是__________．解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为与的交点，即A点．∴．故答案为．注：解决本题的关键是理解目标函数的几何意义，当然本题也可设，则，即为求的斜率的最大值．由图2可知，过点A时，t最大．代入，求出，即得到的最大值是．例3.已知实数x、y满足不等式组,求函数的值域.解析：所给的不等式组表示圆的右半圆(含边界)，-22Oxy（-1，-3）

4、-2可理解为过定点，斜率为的直线族．问题的几何意义：求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点和点的直线斜率最大，．过点所作半圆的切线的斜率最小．设切点为，则过B点的切线方程为．又B在半圆周上，P在切线上，则有解得因此。三、平面内两点间的距离型（或距离的平方型），构造两点间的距离公式法解决最值问题例5已知实数x、y满足，则的最值为________.解析：目标函数，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：-111Oxy（2，2

5、）x+y-1=0-1ABC可行域为图中内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，。例6　已知，求的最小值．解析：作出可行域，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段上，故z的最小值是．注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离

6、等．四、点到直线的距离型例7已知实数x、y满足的最小值。解析：目标函数，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示(-2,1)1Oxy2x+y=1点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得，故例8已知，求的最小值．解析：作出可行域，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线

7、段上，故z的最小值是．五、变换问题研究目标函数例9（08年山东）已知，且的最大值是最小值的3倍，a等于（）解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，点和B点分别取得最小值和最大值.由，由得B(1，1).∴.由题意，得。六、综合导数、函数知识类x－2041－11例10（06山东）．已知函数，部分对应值如下表，的导函数，函数的图象如右图所示.若两正数a，b满足的取值范围是（）分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联

8、系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间[-2,0]为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得，另外注意到的几何意义，转化为线性规划问题可求解。解析：由导函数的图象可知，原函数在区间[-2,0]为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数，又，故，而均为正数，可得可行域如图，(-3,-3)42Oxy的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为，最小为点（2，0），此时为。七、在日常应用中解决最值问题例．(2009山东卷