高中数学竞赛专题讲座---数学归纳法在高考及竞赛中的应用

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1、数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．这种方法的原理简单易懂，在实际生活中都能找到它的影子，多米诺骨牌、蝴蝶效应都可以看做是数学归纳法的一种体现。而在数学方面的应用上，它更显出了重要的地位，正因如此，在近年的高考试题，特别是压轴大题上，常常运用数学归纳法来解题；在竞赛数学，数学归纳法更是在数列、组合等多方面发挥着重要作用。（一）数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果:①当（）时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．例1（

2、07江西理22）设正整数数列满足：，且对于任何，有．（1）求，；（2）求数列的通项．解：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明:1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，，则时由①得,,因为时，8，所以．，所以．又，所以,故，即时，成立．由1，2知，对任意，．此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即和。（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当（）时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．例2已

3、知对任意的且，求证：.证：（1）当时，因为且，所以，，命题成立；（2）假设时命题成立，即,当时，因为，所以，且，于是，因为，∴,从而，解得，（舍），即时命题成立.由（1）、（2）知，对一切自然数都有成立.证毕.这两种数学归纳法，是运用次数较多的方法，大家也比较熟悉，在这里就不赘述了。下面介绍一下数学归纳法的其它形式。（二）数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当时，成立，②假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．8例3证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形.证：（1）对于可按如图进行分割,假

4、设当成立,当时，只要将其中一个正方形分割为4个正方形，即可得到个正方形.由（1）（2）对一切的自然数都成立.（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①对无限多个正整数成立；②假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．例4设都是正数，证明：证：（1）先证明有无限多个正整数，使命题成立.当（对任意的时），不等式成立，对用数学归纳法.①当时，即，因为，所以即不等式成立.②假设时成立，即；则当时因此时，不等式成立,故对于（对任意的时）命题成立.（2）假定时成立，即，于是当时，有对此式两边同时次方得,即成

5、立，此为时不等式成立.由（1）、（2）知对一切自然数都有.8(3)螺旋数学归纳法设、是两串与自然数有关的命题，如果①命题成立；②对任何自然数，命题成立，则命题成立；若命题成立，则命题成立.那么根据①②对一切自然数，命题与都成立．例5已知数列定义如下：,求证：数列的前项和为.证：将命题记作，将命题记作.（1）当时，有即成立.（2）证假设成立，即有于是故成立.（3）再证假设成立，即有于是即成立.综上，由螺旋归纳法原理，命题、对一切均成立.（4）二重数学归纳法设命题是与两个独立的自然数有关的命题，如果①对一切自然数成立，对一切自然数成立；②

6、假设和成立时，可推证命题成立．则对所有自然数，命题都成立.例6设满足，其中是正整数，，且8,求证：.证：（1）因为对于一切正整数与（），成立.即此命题为真.（2）假设成立，即成立.则,则命题成立，由二重数学归纳法知，对任意自然数都有（三）数学归纳法在高考中应用例1（05江西卷）已知数（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有则而又∴时命题正确.由1°,2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单

7、调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切.（2）下面来求数列的通项：所以又bn=－1，所以.例2（07湖北卷）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；8（II）对于，已知，求证，求证，；（III）求出满足等式的所有正整数．解：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，于是，．（

8、Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，，．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立；当时，，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立．