求轨迹方程题型全归纳

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1、求轨迹方程的六种常用方法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例1．已知线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，则，设点的坐标为，则直线的斜率，直线的斜率由已知有化简，整理得点的轨迹方程为练习：1．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是。2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。3.到两

2、互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（　　）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线112．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例2．若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_______________。解：设的重心为，则由和两边上的中线长之和是可得，而点

3、为定点，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆。所以由可得故的重心轨迹方程是练习：4．方程表示的曲线是（　　）A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。例3．椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。解：设过点的直线交椭圆于、，则有①②①②可得11而为线段的中点，故

4、有所以，即所以所求直线方程为化简可得练习：5．已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。6．已知双曲线，过点能否作一条直线与双曲线交于两点，使为线段的中点？4．转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：①某个动点在已知方程的曲线上移动；②另一个动点随的变化而变化；③在变化过程中和满足一定的规律。例4．已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心的轨迹方程。解：设重心，点，因为则有，故代入得所求轨迹

5、方程　11例5．抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程。解法一：（转移法）设，∵，∴平行四边形的中心为，将，代入抛物线方程,得，设，则①∴，∵为的中点.∴，消去得，由①得，，故动点的轨迹方程为。解法二：（点差法）设，∵，∴平行四边形的中心为，设，则有①②由①②得③而为的中点且直线过点，所以11代入③可得，化简可得④由点在抛物线口内，可得⑤将④式代入⑤可得故动点的轨迹方程为。练习：7．已知，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。5

6、．参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例6．过点作直线交双曲线于、两点，已知。（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，说明

7、理由。解：当直线的斜率存在时，设的方程为，代入方程，得因为直线与双曲线有两个交点，所以，设，则①设，由得11∴所以，代入可得，化简得即②当直线的斜率不存在时，易求得满足方程②，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）（2）平行四边为矩形的充要条件是即③当不存在时，、坐标分别为、，不满足③式当存在时，化简得，此方程无实数解，故不存在直线使为矩形。练习：8．设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点、,是坐标原点,点满足,点的坐标为,当绕点旋转时,求:(1)动点的轨迹方程；(2)的最

8、小值与最大值。9．设点和为抛物线上原点以外的两个动点，且，过作于，求点的轨迹方程。6．交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例7．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。解1:(利用点的坐标作参数)令，则而.设与的交点为因为共线，所以因为共线，所以11两式相乘得①，而即代入①得，　即交点的轨迹方程为　解2:(利用角作参数)设，则所以,两式相乘消去即可得所求的点