相似三角形模型分析大全

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1、第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：19三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：19一、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解19母子型相似三角形例1、已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,．求证：（1）；（2）．ACDEB例

2、2、已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：．19点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE相关练习：1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：．2、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：．193、ACBPDE（第4题图）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，

3、PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．19双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED解答：证明：（1）∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，∴∠AFB=∠AEC，∠A为公共角，∴△ABD∽△ACE（两角对应相

4、等的两个三角形相似）．（2）由（1）得AB：AC=AD：AE，∠A为公共角，∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）(3)∵△ADE∽△ABC∴AD：AB=DE：BC又∵∠A=60°∴BC=2ED共享型相似三角形1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.19如图∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°又∵DBCE在一条直线上∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60°∵∠DAE=120°∴∠DAB+∠CAE

5、=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60°由上可知∠ADB=∠CAE，∠DAB=∠CAE∴△DAB∽△AEC∵三角形相似对应边成比例∴BD／AC=AB／CE∵BD=1，CE=3∴AB=AC=√32、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）．解答：证明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°．（1分）∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BAD+45°．（1分）而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分）∴∠BAE=∠

6、CDA．（1分）19∴△ABE∽△DCA．（2分）（2）由△ABE∽△DCA，得．（2分）∴BE•CD=AB•AC．（1分）而AB=AC，BC2=AB2+AC2，∴BC2=2AB2．（2分）∴BC2=2BE•CD．（1分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．一线三等角型相似三角形CADBEF例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60°∵∠E

7、DF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120°∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED∵∠B=∠C∴△BDE相似△CFD2、∵BD=1∴CD=BC-BD=6-1=519∵△BDE相似△CFD∴BE/CD=BD/CFBE/5=1/3BE=5/3CDABP例2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A

8、，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长．解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC