2012年高考试题分类考点32 数学归纳法

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1、考点32数学归纳法1.（2012·天津高考理科·Ｔ18）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；(Ⅱ)记a1bn，，证明.【解题指南】（1）分别求出公差和公比即可得通项公式；（2）错位相减法求出的关系式，进而证明或用数学归纳法证明之.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由由条件得方程组(Ⅱ)（方法一）由(Ⅰ)得（1），由（2）-（1），得而=，故.（方法二：数学归纳法）（1）当n=1时，，，故等式成立.（2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时有：-4-=====，即，因此n=k+1

2、时等式也成立.由（1）和（2），可知对任意成立.2.（2012·湖北高考理科·Ｔ22）（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0

3、函数的单调性证明;(III)利用数学归纳法结合放缩法证明.【解析】(I)f＇(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f＇(x)=0,解得x=1.当01时,f＇(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.(II)由(I)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1-r).　　①若a1,a2中至少有一个为0,则≤a1b1+a2b2成立;若a1,a2均不为0,又b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是-4-在①中

4、令x=,r=b1,可得(≤b1·+(1-b1),即≤a1b1+a2(1-b1),亦即≤a1b1+a2b2.综上,对a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数且b1+b2=1,总有≤a1b1+a2b2.　②(III)(II)中命题的推广形式为:设a1,a2,…,an为非负实数,b1,b2,…,bn为正有理数.若b1+b2+…+bn=1,则…≤a1b1+a2b2+…+anbn.　③用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,b1=1,有a1≤a1,③成立.(2)假设当n=k时,③成立,即若a1,a2,…,ak为非负实数,b1,b2,…,bk为正有理数,且b1+b2+…+

5、bk=1,则…≤a1b1+a2b2+…+akbk.当n=k+1时,已知a1,a2,…,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1为正有理数,且b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时00,+ak·从而-4-又因(1-bk+1)+bk+1=1,由②得·(1-bk+1)+ak+1bk+1,从而…≤a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,③成立,由(1)(2)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.-4-