关于极限求值若干方法的探讨a

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1、毕业论文（设计）题目：关于极限求值若干方法的探讨学号：04110801054姓名：张连强教学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级：08本（1）班指导教师：樊义完成时间：2011年11月28日毕节学院教务处制关于极限求值若干方法的探讨摘要：本文首先从利用极限定义求极限出发,接着从低层向较高层渐渐深入地概括介绍了极限求值的大部分方法并重点介绍了几种少见而重要的方法。关键词：极限求值;方法引言极限理论是数学分析的重要基础.而极限求值,又是极限理论的一个重点和难点.此外，在物理学计算机科学经济学等学科中经常涉及到极限的求值的问题。因而本文特概括了极限求值的若干方法.

2、1定义法求极限值利用定义法求极限的关键是：将通项化为一个常数与一个含n的无穷小之和，从而得到

3、-a

4、<,并借此寻找N.如:例1.1求数列{}的极限}.解:令=,因为当n>1时,>1,所以=1+(>0),于是n=1+n+,即0亦即0.故1=1+1+.显然{}收敛于零.因为,,就有

5、-0

6、<.所以=1.例1.2设aR,

7、a

8、>1,求.解:n时,有

9、

10、==<=.要使<,只需n>+1.即若取N=+2,则当n>N时,就有

11、

12、<<,所以=0.数列{

13、a

14、>1,aR是无穷小序列.2利用极限的性质和运算求极限利用极限的性质和运算求有限值是最常见而最基本的方法,很多书上都有介绍.因此,在

15、这里只作简单介绍.2.1定理若存在正整数N(若存在>0),当n>N(当0<

16、x-

17、<)时,有≧≧(有f(x)≧g(x)≧h(x)),且(且A),则有a(A).通过构造不等式应用上述定理,即是利用两边夹法则求极限值.2.2运用以下公式求极限值:=,=,=,这里{},{},{}均为收敛数列,且不为零,此外以上公式同样适用于函数极限.3待定型对于含有待定型或的待求极限式常使用洛必达法则或分子分母变形约分法,且洛必达法则可连续使用.由于应用洛必达法则求极限值在很多书上都有介绍,所以在这里只简单的提出.4利用等价代换和初等变形求极限值4.1等价代换在求乘除式极限里,其因子可用等价

18、因子代替,极限不变.最常用的等价关系如:当x→0时,x-1(其中a>0,b.还有,-1.例4.1求.解:因,故原式===1.4.2利用初等变形求极限用初等数学的方法将变形,然后求极限.如:例4.2=.解:乘以.===·(当n→∞时)(x5利用变量替换求极限期为了将未知的极限化简,或转化为已知的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,以替换原有的变量,使原来的极限过程,转化为新的极限过程.现以数列例子为例介绍如下:若=a,=b,试求.解:令=a+,=b+,则n时,,.于是==a·b+a+b+.显然,当n→∞时,上式第二和第三项趋向零.又因(n→∞),故{}有界,即>0,

19、使得

20、

21、().故0<

22、

23、→0.即第四项为零,所以=ab.6利用已知极限辅助求解未知极限值6.1=e;1)若f(x)>0,=b>0,=c.则=.2)若=0,=,=,则=.6.2=1;=1.6.3=1(a为正常数)通过在待求极限中局部或整体构造上述极限,然后利用上述极限,从而简易地求解未知极限.如求,通过构造=进而可利用上述结论.7利用单调有界数列必有极限定理来求极限单调有界数列必有极限不仅可以用来证明极限的存在性,还可以用来求极限,下面介绍如何应用它来求极限值:已知数列=,=,=,=,,其中,a>0.现在讨论,若数列{}收敛，则求其极限.解:从这个数列的构造来看它显然是单

24、调增加的,现在来看它的有界性:易得=,=,,=,从而=a+.又<,所以

25、点处可导,表达式)=t·f(),确定系数t.解:==+=·f()+·f()=2f()由于f()·t=f()·2故t=2.再如:===1.在极限论中,求极限的值占有非常重的份量.它是学好极限的基本要求,而极限问题是数学分析的基本问题之一,它贯穿于整个数学分析,除此之外在微分学、积分学、级数和多元函数里都存在有极限问题.参考文献[1]欧阳光中,朱炎学,金福临,陈传璋.复旦大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,2006.[2]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧[上].华中科技大学出版社,2003.[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方