物理竞赛复赛试卷 - 第十三届全国物理竞赛复赛试题答案- w

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1、第十三届全国物理竞赛复赛试题解答一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解13-1所示电流的分布，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为α的圆电路，可得πk=2+对等边三角形三个边组成的电路，可得3k/4=2+2对由弦AB和弧AB构成的回路，可得（π-3/4）k/3=-考虑到，流进B点的电流之和等于流出B点电流之和，有+=+由含源电路欧姆定律可得-=πk/3-由以上各式及题给出的=2/3可解得-=-k/32二、解法一：1、分析和等效处理根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为=arcsin(1/n)注意到物长为4mm，由光路可

2、估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在左右，大于临界角，发生全反射。所以对这些光线而言，棱镜斜面可看成是反射镜。本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直”如图复解13–2-1所示。现在，问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为6cm的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成α7角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。设轴上的物点为B。由于厚平玻璃板的作用（即侧移的物点）为B′（如图复解13–2-

3、2所示）。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知Δl=d（ctgα）而d=D（tgα-tgβ）所以Δl=D（1–tgα/tgβ）当α为小角度时tgβ/tgα≈sinβ/sinα=1/n故得Δl=D（1–1/n）=2cm这也就是物AB与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜来说就是物，而物距=〔（6–2）+6+10〕cm=20cm可见，物正好在的左方焦平面上，像距即为=∞。再考虑透镜，这是平行光线入射情形，=∞。所以必须成像于这个发散透镜左侧的焦平面上（虚像）==-10cm整个光路的最后成像位置就是在的左侧10cm处。3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作

4、图法求解，如图复解13–2-3所示（为了图示清楚图中把物高加大了）。连接并延长，便得到发自的光线经后的平行光线的方向。过的光心作的平行线，它与交于C点，则C即为从发出经过折射后又通过光心的光线。反向延长C与左侧焦平面的交点就是由与所成的像点。令左侧焦面与光轴的交点为。就是的像，这是一个正立的虚像。由图可得=tgγ=tgγ而与AB等高，所以像的大小为=（/）=2mm解法二7：关于物体AB经棱镜（折射，反射，折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理。如图复解13–2-4所示，AB发出的、与PQ面近乎垂直的小光束经PQ面折射后成像于这是视深问题。、与PQ面的距离均为

5、A、B与PQ面的距离的n倍，即=n=（像与物的大小相同）经PR面的反射成像于，大小不变，且经QR面后折射成像于，大小不变，且==（6/1.5+6）cm=10cm由此即可求出这个像作为透镜的物的物距，其它部分的求解同解法（一）。三、由对称性可知，C点的速度也必沿CA方向，设其大小为。D的速度可以分解为平行于v和垂直于v的分速度，其大小分别设为。同样，B的速度也类似地分解为平行和垂直于v的二个分速度，其大小设为，如图复解13-3所示，根据对称性，必有由于绳子不可伸长，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即另一方面，设绳

6、子AD给质点D的冲量的大小为，绳子DC给质点C冲量大小为。注意到绳子DC给质点D的冲量的大小同样也是（各冲量的方向均沿绳子方向）。由对称性还可以判定，绳子AB给质点B的冲量的大小也是，绳子BC给质点B和C的冲量的大小都是，根据动量定理，可分别列出关于质点D平行和垂直于v的方向以及质点C平行于v方向的关系式如下：7由（3）~（7）式可解出本题所需的、据此结果和（1）、（2）式，此系统的总动量为，方向沿CA方向。此系统的总动能为四、1、见图复解13–4。导体是一个等势体，所以导体球接地（=0）时，对于球心点有==0（1）另一方面，可以直接计算球心点的电势。因为所有感应

7、电荷都分布在球面上，它们到球心的距离都是R，而圆环上电荷到球心的距离都是，所以=K/R+Kq/（2）式中就是要求的感应电荷总量。由（1）、（2）两式即得=-Rq/（3）2、导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势计算而求得：==K/R+Kq（4）式中表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导体球体内是不会有电荷分布的。由于题给导体球为电中性，即=0，所以由（4）式得=K/（5）73、导体球的电势为时，再以球心点考虑：==（6）而另一方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷分别产生的电势的迭加：=K/R+Kq（7）导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由（6）、（7）两式

8、解得==R